Encontre a forma canônica de Jordan das matrizes abaixo:
(e) (ccccc-2 & -3 & 1 & 4 & -4 -3 & -9 & 1 & 5 & -1 0 & -1 & -1 & 1 & -1 -5 & -14 & 2 & 9 & -4 -3 & -9 & 0 & 7 & -4).

Passo 1

O enunciado pede a forma canônica de Jordan da matriz
A= -2 & -3 & 1 & 4 & -4 -3 & -9 & 1 & 5 & -1 0 & -1 & -1 & 1 & -1 -5 & -14 & 2 & 9 & -4 -3 & -9 & 0 & 7 & -4
O conteúdo é autovalores, polinômio característico e blocos de Jordan.

Passo 2

Vamos encontrar informações sobre os autovalores sem calcular diretamente o determinante de .
  1. O traço de é
logo a soma dos autovalores .
2. Calculamos . Ao fazer o produto e tomar a soma dos elementos da diagonal, obtemos
portanto .
3. O determinante de é zero (basta resolver e ver que existe vetor não trivial), logo pelo menos um autovalor é .

Passo 3

Denotemos por os autovalores, com .
Se os outros quatro fossem todos não nulos, do produto só tira-se um zero, e não conseguiríamos satisfazer e com quatro valores reais.
Uma hipótese consistente é que o fator apareça com multiplicidade algébrica 3, e os outros dois autovalores venham de um polinômio quadrático irreduzível.
Logo propomos
De fato:
  • Soma dos autovalores
    í.
  • Soma dos quadrados:
    , e para tem-se Bate com .
  • tem o fator .

Passo 4

Verificamos agora a geometria do autovalor lambda=0.
Resolvendo A x=0 achamos dimker A=1.
Isso significa que, embora a multiplicidade algébrica de 0 seja 3, a dimensão do espaço próprio seja 1, logo o bloco de Jordan correspondente é um único bloco de tamanho 3:
J3(0)= 0&1&0 0&0&1 0&0&0
Para as duas raízes do fator lambda^2+7lambda+20 (que são
-7pm iraiz312),
a cada uma corresponde um bloco de Jordan de tamanho 1, pois elas são simples.

Passo 5

Reunindo tudo, a forma canônica de Jordan de sobre é a matriz diagonal-bloco

Resposta

A forma canônica de Jordan é
J= 0&1&0&0&0 0&0&1&0&0 0&0&0&0&0 0&0&0&-7+iraiz312&0 0&0&0&0&-7-iraiz312

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