Dê a solução do sistema lineares:
(b) \left\{\begin{array}{l}\frac{d x}{d t}=4 x-3 y, \\\ \frac{d y}{d t}=5 x-4 y\end{array} \quad\right. com condição inicial x(0)=1, y(0)=2

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear de equações diferenciais
\frac{d x}{d t} = 4x - 3y,\quad \frac{d y}{d t} = 5x - 4y
com condição inicial x(0)=1, y(0)=2. Nosso conteúdo é sistemas lineares autônomos de ordem 1 com coeficientes constantes. Vamos resolver escrevendo em forma matricial e usando autovalores e autovetores.

Passo 2

Escrevendo em forma matricial, definimos \mathbf{X}=(x,y)^T e
A = \begin{pmatrix}4 & -3\\[6pt]5 & -4\end{pmatrix},
de modo que \mathbf{X}'=A\mathbf{X}. A característica do método é achar autovalores \lambda e autovetores \mathbf{v} de A.]

Passo 3

Calculamos o polinômio característico
\det(A - \lambda I) =\det\!\begin{pmatrix}4-\lambda & -3\\[4pt]5 & -4-\lambda\end{pmatrix} =(4-\lambda)(-4-\lambda)-(-3)\cdot5 =\lambda^2-1.
As raízes são
\lambda^2 -1=0\quad\Longrightarrow\quad \lambda_1=1,\;\lambda_2=-1.]

Passo 4

Para \lambda_1=1, resolvemos (A-I)\mathbf{v}=0:
\begin{pmatrix}3 & -3\\[4pt]5 & -5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix}=0 \;\Rightarrow\;v_1=v_2.
Um autovetor é \mathbf{v}_1=(1,1)^T.
Para \lambda_2=-1, resolvemos (A+I)\mathbf{v}=0:
\begin{pmatrix}5 & -3\\[4pt]5 & -3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix}=0 \;\Rightarrow\;5v_1-3v_2=0\;\Rightarrow\;v_2=\tfrac{5}{3}v_1.
Um autovetor conveniente é \mathbf{v}_2=(3,5)^T.]

Passo 5

A solução geral do sistema é combinação linear
\mathbf{X}(t) =C_1 e^{\lambda_1 t}\mathbf{v}_1 +C_2 e^{\lambda_2 t}\mathbf{v}_2 = C_1 e^{t}\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} + C_2 e^{-t}\begin{pmatrix}3\\\ 5\end{pmatrix}.
Isto equivale a
x(t)=C_1 e^{t}+3C_2 e^{-t},\quad y(t)=C_1 e^{t}+5C_2 e^{-t}.

Passo 6

Impondo x(0)=1\), \(y(0)=2\), obtemos o sistema em \(C_1,C_2\): \[\begin{cases} 1 = C_1 + 3C_2,\\\\ 2 = C_1 + 5C_2. \end{cases}
Subtraindo as equações, (1=2C_2\Rightarrow C_2=\tfrac12]. Então
C_1 = 1 - 3\cdot\tfrac12 = 1 - \tfrac32 = -\tfrac12.

Passo 7

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, temos
x(t) = -\tfrac12\,e^{t} + \tfrac32\,e^{-t}, \quad y(t) = -\tfrac12\,e^{t} + \tfrac52\,e^{-t}.

Resposta

x(t) = -\tfrac12\,e^{t} + \tfrac32\,e^{-t}, \quad y(t) = -\tfrac12\,e^{t} + \tfrac52\,e^{-t}.

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