Use indução sobre n natural para demonstrar os seguintes fatos:
1^3+2^3+3^3+cdots+n^3=[n(n+1)2]^2;

Passo 1

O enunciado pede para usar indução sobre ninN e demonstrar que
1^3+2^3+3^3+cdots+n^3=[n(n+1)2]^2
Vamos aplicar o princípio da indução matemática: caso base, hipótese de indução e passo indutivo.

Passo 2

Caso base ( n=1).
Calculamos o lado esquerdo e o lado direito:
sumk=1^1k^3 = 1^3 = 1,
[1cdot(1+1)2]^2 = [1cdot22]^2 = 1^2 = 1
Logo, a igualdade vale para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução.
Suponha que para um ninN qualquer valha
sumk=1^nk^3 = [n(n+1)2]^2

Passo 4

Passo indutivo.
Queremos mostrar que então vale também para n+1. Começamos por escrever
sumk=1^n+1k^3 = sumk=1^nk^3 ;+;(n+1)^3
Pela hipótese de indução substituímos a soma até n:
sumk=1^n+1k^3 = [n(n+1)2]^2 + (n+1)^3

Passo 5

Manipulação algébrica.
[n(n+1)2]^2 + (n+1)^3 = n^2(n+1)^24 + (n+1)^3 = (n+1)^24l(n^2 + 4(n+1)r) = (n+1)^2(n+2)^24 = [(n+1)(n+2)2]^2
Isso mostra que a fórmula vale para n+1.

Passo 6

Conclusão da indução.
Como o caso base ( n=1) é verdadeiro e o passo indutivo foi comprovado, segue-se pelo princípio da indução que a fórmula é válida para todo ninN.

Resposta

Para todo ninN,
1^3+2^3+cdots+n^3 = [n(n+1)2]^2

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