Use indução sobre
natural para demonstrar os seguintes fatos:
;
Passo 1
O enunciado pede para usar indução sobre
e demonstrar que
Vamos aplicar o princípio da indução matemática: caso base, hipótese de indução e passo indutivo.
Passo 2
Caso base (
).
Calculamos o lado esquerdo e o lado direito:
Calculamos o lado esquerdo e o lado direito:
Logo, a igualdade vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução.
Suponha que para um qualquer valha
Suponha que para um
Passo 4
Passo indutivo.
Queremos mostrar que então vale também para . Começamos por escrever
Queremos mostrar que então vale também para
Pela hipótese de indução substituímos a soma até
:
Passo 5
Manipulação algébrica.
Isso mostra que a fórmula vale para
.
Passo 6
Conclusão da indução.
Como o caso base ( ) é verdadeiro e o passo indutivo foi comprovado, segue-se pelo princípio da indução que a fórmula é válida para todo
.
Como o caso base (
Resposta
Para todo
,