Encontre uma fórmula para f^(n)(x) em cada item a seguir.
f(x)=13 x^3

Passo 1

A questão pede a fórmula da n-ésima derivada de uma função do tipo potência. Aqui estamos em Cálculo diferencial e vamos usar a regra para derivar repetidamente uma potência de x.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos f(x) de modo a evidenciar a potência de x:
f(x)=13x^3=13,x^-3

Passo 3

Em seguida, lembramos que a n-ésima derivada de x^k é dada pelo produto das k fatores decrescentes:
d^ndx^nx^k=(k)(k-1)cdots(k-n+1)x^k-n=(k)n,x^k-n,
onde (k)n é o símbolo de Pochhammer (fatorial decrescente).

Passo 4

Aplicando ao nosso caso, com fator constante 1/3 e k=-3, obtemos
f^(n)(x)=13,(-3)n,x^-3-n

Passo 5

Agora calculamos o fatorial decrescente de -3:
(-3)n=(-3)(-4)cdots[-3-(n-1)] =(-1)^n,(3cdot4cdots(n+2)) =(-1)^n,(n+2)!2!

Passo 6

Substituindo esse valor em f^(n)(x) e simplificando 1/3cdot1/2!=1/6, resulta
f^(n)(x)=(-1)^n,(n+2)!6,x^-n-3

Resposta

f^(n)(x)=(-1)^n(n+2)!6,x^-n-3

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