Encontre uma fórmula para
em cada item a seguir.
Passo 1
A questão pede a fórmula da n-ésima derivada de uma função do tipo potência. Aqui estamos em Cálculo diferencial e vamos usar a regra para derivar repetidamente uma potência de x.
Passo 2
Primeiro, reescrevemos f(x) de modo a evidenciar a potência de x:
Passo 3
Em seguida, lembramos que a n-ésima derivada de
é dada pelo produto das k fatores decrescentes:
onde
é o símbolo de Pochhammer (fatorial decrescente).
Passo 4
Aplicando ao nosso caso, com fator constante
e
, obtemos
Passo 5
Agora calculamos o fatorial decrescente de
:
Passo 6
Substituindo esse valor em
e simplificando
, resulta