Encontre uma fórmula para f^(n)(x) em cada item a seguir.
f(x)=1(1-x)^2

Passo 1

O enunciado pede a fórmula da n-ésima derivada de f(x)=1(1 - x)^2. O conteúdo aqui é aplicação da regra do poder combinada com a regra da cadeia para funções da forma (1 - x)^m.

Passo 2

Vamos reescrever f(x) como uma potência e calcular as primeiras derivadas para identificar um padrão:
f(x) = (1 - x)^-2

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia e do poder:
f'(x) = (-2),(1 - x)^-3,(-1) = 2,(1 - x)^-3
f''(x) = 2,(-3),(1 - x)^-4,(-1) = 6,(1 - x)^-4
f'''(x) = 6,(-4),(1 - x)^-5,(-1) = 24,(1 - x)^-5

Passo 4

Observamos que:
f(x)=(1-x)^-2, f'(x)=2!=(1+1)!,(1-x)^-3, f''(x)=3!=(2+1)!,(1-x)^-4, f'''(x)=4!=(3+1)!,(1-x)^-5

Passo 5

Com base nisso, propomos por indução que
f^(n)(x) = (n+1)!,(1 - x)^-n-2

Passo 6

Para a demonstração por indução, suponha que f^(n)(x) = (n+1)!,(1 - x)^-n-2. Então
f^(n+1)(x) = (n+1)!,(-n-2),(1 - x)^-n-3,(-1) = (n+2)!,(1 - x)^-n-3,confirmando o padrão para todo n.

Resposta

f^(n)(x)=(n+1)!(1-x)^n+2

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