Encontre uma fórmula para a
-ésima soma parcial da série e use-a para determinar se a série converge ou diverge. Se a série converge, encontre a soma.
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos uma fórmula para a
-ésima soma parcial da série
e usar essa fórmula para decidir convergência e, se convergir, obter a soma. O conteúdo aqui é o reconhecimento de uma série telescópica, cujos termos internos se cancelam em parte.
Passo 2
Definimos a
-ésima soma parcial como
Escrevendo os primeiros termos temos
Note que todos os termos intermediários se cancelam, sobrando apenas
Passo 3
Para estudar a convergência, calculamos
Como
, temos
Passo 4
O limite da soma parcial é finito, logo a série converge. A soma da série é o valor desse limite.
Resposta
A fórmula da
-ésima soma parcial é
e a série converge. Sua soma é