Encontre uma fórmula para a n-ésima soma parcial da série e use-a para determinar se a série converge ou diverge. Se a série converge, encontre a soma.
sumn=1^infty(e^1 / n-e^1 /(n+1))

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos uma fórmula para a n-ésima soma parcial da série
sumn=1^inftyl(e^1/n-e^1/(n+1)r)
e usar essa fórmula para decidir convergência e, se convergir, obter a soma. O conteúdo aqui é o reconhecimento de uma série telescópica, cujos termos internos se cancelam em parte.

Passo 2

Definimos a N-ésima soma parcial como
SN = sumk=1^Nl(e^1/k-e^1/(k+1)r)
Escrevendo os primeiros termos temos
SN = l(e^1/1-e^1/2r) + l(e^1/2-e^1/3r) + cdots + l(e^1/N-e^1/(N+1)r)
Note que todos os termos intermediários se cancelam, sobrando apenas
SN = e^1/1 - e^1/(N+1) = e - e^1N+1

Passo 3

Para estudar a convergência, calculamos
limNtoinftySN = limNtoinftyl(e - e^1N+1r)
Como limNtoinftye^1N+1=e^0=1, temos
limNtoinftySN = e - 1

Passo 4

O limite da soma parcial é finito, logo a série converge. A soma da série é o valor desse limite.

Resposta

A fórmula da n-ésima soma parcial é
Sn = e - e^1n+1,
e a série converge. Sua soma é
sumn=1^inftyl(e^1/n-e^1/(n+1)r) = e - 1

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