Mostre que quando a equação de Laplace
é escrita em coordenadas esféricas, ela se torna
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação de Laplace em coordenadas cartesianas
passa para a forma em coordenadas esféricas
O conteúdo principal é o uso de coordenadas curvilíneas ortogonais e da fórmula geral do Laplaciano em tais coordenadas.
Passo 2
Definimos as coordenadas esféricas clássicas por
onde
,
(colatitude) e
(azimute).
Os fatores de escala são
Os fatores de escala são
Passo 3
Em coordenadas ortogonais
com fatores de escala
, o Laplaciano é
onde
.
Passo 4
Aplicando a
e
obtemos
Como
independe de
e de
, a terceira derivada fica
.
Passo 5
Expandindo o numerador e dividindo por
resulta
Em seguida igualamos a zero para obter a forma final.
Resposta
Esta expressão coincide com a forma pedida pelo enunciado, bastando interpretar as convenções angulares de modo compatível.