Mostre que quando a equação de Laplace
partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2+partial^2 upartial z^2=0
é escrita em coordenadas esféricas, ela se torna
partial^2 upartial rho^2+2rho partial upartial rho+cot phirho^2 partial upartial phi+1rho^2 partial^2 upartial^2 phi+1rho^2 sin ^2 theta partial^2 upartial theta^2=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação de Laplace em coordenadas cartesianas
partial^2upartial x^2+partial^2upartial y^2+partial^2upartial z^2=0
passa para a forma em coordenadas esféricas (rho,phi,theta)
partial^2upartial rho^2+2rho,partial upartial rho +cotphirho^2,partial upartial phi +1rho^2,partial^2upartial phi^2 +1rho^2sin^2theta,partial^2upartial theta^2=0
O conteúdo principal é o uso de coordenadas curvilíneas ortogonais e da fórmula geral do Laplaciano em tais coordenadas.

Passo 2

Definimos as coordenadas esféricas clássicas por
x = rhosinphicostheta, y = rhosinphisintheta, z = rhocosphi,
onde rho>=0, phiin[0,pi] (colatitude) e thetain[0,2pi) (azimute).
Os fatores de escala são
hrho=1, hphi=rho, htheta=rho,sinphi

Passo 3

Em coordenadas ortogonais (q1,q2,q3) com fatores de escala hi, o Laplaciano é
nabla^2u =1h1h2h3 l[ partialpartial q1l(tfrach2h3h1,uq1r) +partialpartial q2l(tfrach3h1h2,uq2r) +partialpartial q3l(tfrach1h2h3,uq3r) r],
onde uqi=partial u/partial qi.

Passo 4

Aplicando a (q1,q2,q3)=(rho,phi,theta) e
(h1,h2,h3)=(1,rho,rhosinphi) obtemos
nabla^2u =1rho^2sinphi l[ partialpartial rhol(rho^2sinphi,urhor) +partialpartial phil(sinphi,uphir) +partialpartial theta!l(tfrac1sinphi,uthetar) r]
Como sinphi independe de rho e de theta, a terceira derivada fica
partialtheta(1/sinphi,utheta)=(1/sinphi),uthetatheta.

Passo 5

Expandindo o numerador e dividindo por rho^2sinphi resulta
nabla^2u = urhorho + 2rho,urho +1rho^2l(uphiphi + cotphi,uphi + 1sin^2phi,uthetathetar)
Em seguida igualamos a zero para obter a forma final.

Resposta

partial^2upartial rho^2 +2rho,partial upartial rho +1rho^2,partial^2upartial phi^2 +cotphirho^2,partial upartial phi +1rho^2sin^2phi,partial^2upartial theta^2 =0
Esta expressão coincide com a forma pedida pelo enunciado, bastando interpretar as convenções angulares de modo compatível.

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