Encontre uma fórmula para f^{\prime}(x) se f(x) é descrita como indicado.
f(x)=4 \csc x-\cot x

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=4\csc x-\cot x
e pede para encontrar uma fórmula para f'(x), ou seja, a derivada de f em função de x. As informações relevantes são apenas as expressões das funções trigonométricas \csc x e \cot x presentes em f(x).

Passo 2

Vamos calcular \dfrac{d}{dx}\bigl(\csc x\bigr). Uma forma clara é escrever \csc x como potência de \sin x:
\csc x=(\sin x)^{-1}.
Usamos a regra da potência composta (power rule + chain rule): se u(x) é uma função e n é um número, então
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)^n\bigr)=n\,u(x)^{\,n-1}\,u'(x).
Aqui u(x)=\sin x e n=-1. Como \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x, obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(\csc x\bigr)=\frac{d}{dx}\bigl(\sin x\bigr)^{-1}=-1\cdot(\sin x)^{-2}\cdot\cos x=-\frac{\cos x}{\sin^2 x}.
Agora reescrevemos em termos de \cot x e \csc x. Lembrando que \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x} e \csc x=\dfrac{1}{\sin x}, temos
-\frac{\cos x}{\sin^2 x}= -\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)\left(\frac{1}{\sin x}\right)=-\cot x\csc x.
Portanto
\frac{d}{dx}\bigl(\csc x\bigr)=-\csc x\cot x.

Passo 3

Agora calculamos \dfrac{d}{dx}\bigl(\cot x\bigr). Escrevendo \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x} e aplicando a regra do quociente \bigl(\dfrac{u}{v}\bigr)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}, com u=\cos x ( u'=-\sin x) e v=\sin x ( v'=\cos x), obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(\cot x\bigr)=\frac{(-\sin x)\sin x-(\cos x)(\cos x)}{\sin^2 x}=\frac{-(\sin^2 x+\cos^2 x)}{\sin^2 x}.
Usando a identidade trigonométrica \sin^2 x+\cos^2 x=1, isso simplifica para
\frac{d}{dx}\bigl(\cot x\bigr)=-\frac{1}{\sin^2 x}=-\csc^2 x.

Passo 4

Usamos linearidade da derivada (a derivada da soma/diferença e o fator constante saem da derivada). Então
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(4\csc x\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(\cot x\bigr)=4\frac{d}{dx}\bigl(\csc x\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(\cot x\bigr).
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
f'(x)=4\bigl(-\csc x\cot x\bigr)-\bigl(-\csc^2 x\bigr)=-4\csc x\cot x+\csc^2 x.
Podemos também fatorar \csc x se quisermos:
f'(x)=\csc x\bigl(\csc x-4\cot x\bigr).

Resposta

\,f'(x)=\csc^2 x-4\csc x\cot x

Exercícios relacionados