Encontre uma fórmula para
se
é descrita como indicado.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar uma fórmula para
, ou seja, a derivada de
em função de
. As informações relevantes são apenas as expressões das funções trigonométricas
e
presentes em
.
Passo 2
Vamos calcular
. Uma forma clara é escrever
como potência de
:
Usamos a regra da potência composta (power rule + chain rule): se
é uma função e
é um número, então
Aqui
e
. Como
, obtemos
Agora reescrevemos em termos de
e
. Lembrando que
e
, temos
Portanto
Passo 3
Agora calculamos
. Escrevendo
e aplicando a regra do quociente
, com
(
) e
(
), obtemos
Usando a identidade trigonométrica
, isso simplifica para
Passo 4
Usamos linearidade da derivada (a derivada da soma/diferença e o fator constante saem da derivada). Então
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
Podemos também fatorar
se quisermos: