Encontre uma fórmula para f^{\prime}(x) se f(x) é descrita como indicado.
f(x)=\frac{\operatorname{sen} x \operatorname{sec} x}{1+x \tan x}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{\operatorname{sen}x\;\operatorname{sec} x}{1+x\tan x}
e pede para encontrar uma fórmula para f^{\prime}(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função está escrita em termos das funções trigonométricas \operatorname{sen}x, \operatorname{sec} x e \tan x.
  • O objetivo é obter uma expressão explícita para a derivada f^{\prime}(x), válida para os pontos onde a função está definida (ou seja, onde o denominador não é zero e as funções trigonométricas aparecem bem definidas).

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão original usando uma identidade trigonométrica simples. Lembrando que \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x} e \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}, temos
\operatorname{sen}x\;\operatorname{sec} x=\sin x\cdot\frac{1}{\cos x}=\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x.
Portanto a função simplifica-se para
f(x)=\frac{\tan x}{1+x\tan x}.

Passo 3

Para diferenciar uma razão do tipo \dfrac{u(x)}{v(x)} vamos usar a regra do quociente. A regra do quociente diz:
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}},
onde u=u(x) e v=v(x) são funções diferenciáveis. Aqui u é o numerador e v o denominador; u' e v' são as derivadas de u e v, respectivamente.

Passo 4

Identificamos as funções u e v:
u(x)=\tan x,\qquad v(x)=1+x\tan x.
Agora calculamos u'(x) e v'(x).
Derivada de u(x)=\tan x: é conhecido que
\frac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^{2}x.
Uma curta justificativa: usando \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e a regra do quociente, obtém-se \dfrac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x}=\dfrac{1}{\cos^{2}x}=\operatorname{sec}^{2}x.
Portanto
u'(x)=\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 5

Derivada de v(x)=1+x\tan x: é uma soma, então derivamos termo a termo; o termo constante 1 tem derivada 0. Para x\tan x usamos a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(x\tan x\big)=x\cdot\frac{d}{dx}\tan x+\big(\frac{d}{dx}x\big)\cdot\tan x = x\operatorname{sec}^{2}x + 1\cdot\tan x.
Logo
v'(x)=\tan x + x\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 6

Aplicando a regra do quociente \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}} com os u,u',v,v' encontrados:
f'(x)=\frac{\operatorname{sec}^{2}x\big(1+x\tan x\big)-\tan x\big(\tan x + x\operatorname{sec}^{2}x\big)}{\big(1+x\tan x\big)^{2}}.

Passo 7

Agora simplificamos o numerador. Expandindo os produtos:
\operatorname{sec}^{2}x\big(1+x\tan x\big)=\operatorname{sec}^{2}x + x\operatorname{sec}^{2}x\tan x,
\tan x\big(\tan x + x\operatorname{sec}^{2}x\big)=\tan^{2}x + x\operatorname{sec}^{2}x\tan x.
Subtraindo as duas expressões no numerador, os termos x\operatorname{sec}^{2}x\tan x cancelam:
\operatorname{sec}^{2}x + x\operatorname{sec}^{2}x\tan x - \big(\tan^{2}x + x\operatorname{sec}^{2}x\tan x\big) =\operatorname{sec}^{2}x-\tan^{2}x.
Usando a identidade trigonométrica \operatorname{sec}^{2}x=\;1+\tan^{2}x obtemos
\operatorname{sec}^{2}x-\tan^{2}x=1.
Portanto o numerador simplifica-se para 1, e a expressão da derivada fica (aqui apresento a forma final simplificada).

Resposta

f^{\prime}(x)=\frac{1}{\bigl(1+x\tan x\bigr)^{2}}.

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