Encontre uma fórmula para
se
é descrita como indicado.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar uma fórmula para
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função está escrita em termos das funções trigonométricas
, e . - O objetivo é obter uma expressão explícita para a derivada
, válida para os pontos onde a função está definida (ou seja, onde o denominador não é zero e as funções trigonométricas aparecem bem definidas).
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão original usando uma identidade trigonométrica simples. Lembrando que
e
, temos
Portanto a função simplifica-se para
Passo 3
Para diferenciar uma razão do tipo
vamos usar a regra do quociente. A regra do quociente diz:
onde
e
são funções diferenciáveis. Aqui
é o numerador e
o denominador;
e
são as derivadas de
e
, respectivamente.
Passo 4
Identificamos as funções
e
:
Agora calculamos
e
.
Derivada de
: é conhecido que
Uma curta justificativa: usando
e a regra do quociente, obtém-se
.
Portanto
Passo 5
Derivada de
: é uma soma, então derivamos termo a termo; o termo constante
tem derivada
. Para
usamos a regra do produto:
Logo
Passo 6
Aplicando a regra do quociente
com os
encontrados:
Passo 7
Agora simplificamos o numerador. Expandindo os produtos:
Subtraindo as duas expressões no numerador, os termos
cancelam:
Usando a identidade trigonométrica
obtemos
Portanto o numerador simplifica-se para
, e a expressão da derivada fica (aqui apresento a forma final simplificada).