Encontre uma fórmula para f^{\prime}(x) se f(x) é descrita como indicado.
f(x)=\frac{\cot x}{1+\csc x}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{\cot x}{1+\csc x}
e pede para encontrar uma fórmula para f^{\prime}(x), a derivada de f.
Informações relevantes que temos imediatamente do enunciado:
  • Aparecem as funções trigonométricas \cot x e \csc x.
  • A derivada deve ser obtida em termos de x.
  • É preciso ter atenção aos pontos onde a função original não está definida (denominadores nulos de \cot ou \csc).

Passo 2

Primeiro simplificamos f(x) escrevendo \cot e \csc em termos de \sin e \cos:
\cot x=\frac{\cos x}{\sin x},\qquad \csc x=\frac{1}{\sin x}.
Substituindo na definição de f:
f(x)=\frac{\dfrac{\cos x}{\sin x}}{1+\dfrac{1}{\sin x}} =\frac{\dfrac{\cos x}{\sin x}}{\dfrac{\sin x+1}{\sin x}} =\frac{\cos x}{\sin x}\cdot\frac{\sin x}{\sin x+1} =\frac{\cos x}{\sin x+1}.
Observação sobre domínio: ao multiplicar por \sin x e cancelar, assumiu-se \sin x\neq 0. De fato a função original está definida somente quando \sin x\neq 0 (pois \cot e \csc exigem isso) e também quando 1+\csc x\neq0 (isto é, \sin x\neq -1). Após simplificação obtemos a forma mais simples
f(x)=\frac{\cos x}{1+\sin x},
válida para os x em que a expressão original existe (ou seja \sin x\neq 0 e \sin x\neq -1).

Passo 3

Vamos lembrar as regras de derivação que vamos usar:
  • Derivadas básicas das funções trigonométricas: \frac{d}{dx}\big(\sin x\big)=\cos x,\qquad \frac{d}{dx}\big(\cos x\big)=-\sin x.Aqui cada variável representa: x é a variável independente; \sin x e \cos x são funções de x.
  • Regra do quociente: se g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com u e v diferenciáveis e v(x)\neq0, então g'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{v(x)^2}.
Explicando a regra do quociente em palavras: derivar o numerador, multiplicar pelo denominador, subtrair o numerador multiplicado pela derivada do denominador, e dividir tudo pelo quadrado do denominador.

Passo 4

Aplicamos a regra do quociente à forma simplificada f(x)=\dfrac{\cos x}{1+\sin x}. Definimos
u(x)=\cos x,\qquad v(x)=1+\sin x.
Calculamos u' e v' usando as derivadas trigonométricas:
u'(x)=-\sin x,\qquad v'(x)=\cos x.
Agora a regra do quociente dá
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{v(x)^2} =\frac{\big(-\sin x\big)\big(1+\sin x\big)-\cos x\cdot\cos x}{\big(1+\sin x\big)^2}.

Passo 5

Simplificamos o numerador passo a passo:
\big(-\sin x\big)\big(1+\sin x\big)-\cos^2 x = -\sin x -\sin^2 x -\cos^2 x.
Usamos a identidade pitagórica \sin^2 x+\cos^2 x=1 para combinar os últimos dois termos:
-\sin x -\sin^2 x -\cos^2 x = -\sin x -1.
Assim
f'(x)=\frac{-\sin x -1}{\big(1+\sin x\big)^2} =\frac{-(1+\sin x)}{\big(1+\sin x\big)^2} =-\frac{1}{1+\sin x}.
Portanto a expressão para a derivada simplifica muito bem.

Passo 6

Sobre validade: a fórmula encontrada para f'(x) é válida nos pontos onde a função original f(x)=\dfrac{\cot x}{1+\csc x} está definida e onde o denominador da expressão final não se anula. Assim o resultado vale para todos x tais que
\sin x\neq 0\quad\text{e}\quad \sin x\neq -1,
ou seja, excluem-se x=k\pi (para k\in\mathbb{Z}) e os pontos onde \sin x=-1 (por exemplo x=\tfrac{3\pi}{2}+2k\pi).

Resposta

-\dfrac{1}{1+\sin x}

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