Encontre uma fórmula para
se
é descrita como indicado.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar uma fórmula para
, a derivada de
.
Informações relevantes que temos imediatamente do enunciado:
Informações relevantes que temos imediatamente do enunciado:
- Aparecem as funções trigonométricas
e . - A derivada deve ser obtida em termos de
. - É preciso ter atenção aos pontos onde a função original não está definida (denominadores nulos de
ou ).
Passo 2
Primeiro simplificamos
escrevendo
e
em termos de
e
:
Substituindo na definição de
:
Observação sobre domínio: ao multiplicar por
e cancelar, assumiu-se
. De fato a função original está definida somente quando
(pois
e
exigem isso) e também quando
(isto é,
). Após simplificação obtemos a forma mais simples
válida para os
em que a expressão original existe (ou seja
e
).
Passo 3
Vamos lembrar as regras de derivação que vamos usar:
- Derivadas básicas das funções trigonométricas:
Aqui cada variável representa: é a variável independente; e são funções de . - Regra do quociente: se
com e diferenciáveis e , então
Explicando a regra do quociente em palavras: derivar o numerador, multiplicar pelo denominador, subtrair o numerador multiplicado pela derivada do denominador, e dividir tudo pelo quadrado do denominador.
Passo 4
Aplicamos a regra do quociente à forma simplificada
. Definimos
Calculamos
e
usando as derivadas trigonométricas:
Agora a regra do quociente dá
Passo 5
Simplificamos o numerador passo a passo:
Usamos a identidade pitagórica
para combinar os últimos dois termos:
Assim
Portanto a expressão para a derivada simplifica muito bem.
Passo 6
Sobre validade: a fórmula encontrada para
é válida nos pontos onde a função original
está definida e onde o denominador da expressão final não se anula. Assim o resultado vale para todos
tais que
ou seja, excluem-se
(para
) e os pontos onde
(por exemplo
).