Encontre uma fórmula para f^-1(x) e dê o domínio de f^-1
f(x)=3x^2 para x<0

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=3x^2,
definida para x<0. O conteúdo é inversão de função: vamos expressar x em função de y=f(x) e depois trocar os papéis de x e y, respeitando o domínio original.

Passo 2

Começamos escrevendo
y = 3x^2
Aqui y é o valor de saída de f.

Passo 3

Isolamos x^2 trocando os lados da fração:
x^2 = 3y

Passo 4

Extraímos a raiz quadrada em ambos os lados, lembrando que originalmente x<0, portanto escolhemos o sinal negativo:
x = -raiz3y

Passo 5

Agora invertemos os papéis: a variável independente passa a ser x (no lugar de y). Assim a inversa é
f^-1(x) = -raiz3x
O domínio de f^-1 é o contradomínio de f, ou seja, todos os valores y que f(x) atinge quando x<0. Como x^2>0 para xneq0, temos
f(x)=3x^2>0,
e quando xto-infty, f(x)to0^+. Logo o alcance de f é (0,infty).

Resposta

A fórmula da inversa é
f^-1(x) = -raiz3x,
com domínio
l(0,inftyr)

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