Encontre uma fórmula para f^-1(x) e dê o domínio de f^-1
f(x)=x+1x-1

Passo 1

O enunciado pede a função inversa de
f(x)=x+1x-1,
cujo domínio é Rsetminus1.
Para achar f^-1 vamos usar a técnica de trocar x por y, resolver para x em função de y e depois renomear y para x.

Passo 2

Começamos definindo
y = x+1x-1
Multiplicando ambos os lados por (x-1) e recolhendo x,
y(x-1) = x+1 Longrightarrow yx - y = x + 1 Longrightarrow yx - x = y + 1 Longrightarrow x(y - 1) = y + 1
Logo,
x = y + 1y - 1
Renomeando y para x, obtemos
f^-1(x) = x + 1x - 1

Passo 3

O domínio de f^-1 é a imagem de f. Como a equação
x+1x-1=1
não tem solução real, o valor 1 nunca é atingido por f. Além disso a fórmula de f^-1(x) exige x-1neq0. Portanto o domínio de f^-1 é
Rsetminus1.

Resposta

f^-1(x)=x+1x-1
Domínio de f^-1: Rsetminus1.

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