Resolva a equação diferencial dada por separação de variável:
x^2(y+1) d x+y^2(x-1) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
x^2(y+1),dx + y^2(x-1),dy = 0
e pede para resolver por separação de variáveis. Vamos escrever a equação na forma
dydx=f(x),g(y)
para conseguir isolar y num lado e x no outro.

Passo 2

A partir de
x^2(y+1),dx + y^2(x-1),dy = 0
temos
dydx=-x^2(y+1)y^2(x-1)
Note que
-x^2(y+1)y^2(x-1) =-x^2x-1;cdot;y+1y^2,
ou seja, é produto de uma função só de x por uma função só de y. Assim separamos:
y^2y+1,dy =-x^2x-1,dx

Passo 3

Agora calculamos as integrais. Primeiro a de y: dividimos polinomialmente
y^2y+1 =y-1+1y+1
Logo
integral y^2y+1,dy =integrall(y-1+1y+1r),dy =y^22-y+lnl|y+1r|

Passo 4

Em seguida a integral em x:
x^2x-1 =x+1+1x-1,
portanto
integral x^2x-1,dx =integrall(x+1+1x-1r),dx =x^22+x+lnl|x-1r|
Como havia um sinal “ -” na separação,
integral y^2y+1,dy =-integral x^2x-1,dx + C

Passo 5

Substituindo as antiderivadas:
y^22-y+lnl|y+1r| =-l(x^22+x+lnl|x-1r|r)+C
Reorganizando e absorvendo constantes, uma forma implícita mais simétrica é
x^2+2x + y^2-2y +2lnl|(x-1)(y+1)r|=C'

Resposta

x^2+2x + y^2-2y +2lnl|(x-1)(y+1)r|=C,
onde C é constante arbitrária.

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