Encontre uma fórmula para a função descrita e obtenha seu domínio.
Expreesse a hipotenusa do triângulo retângulo com uma área de
como uma função do seu perímetro
.
Expreesse a hipotenusa do triângulo retângulo com uma área de
Passo 1
O enunciado pede a hipotenusa
de um triângulo retângulo com área fixa de
expressa em função do perímetro
. Vamos usar a fórmula da área, a relação de Pitágoras e a definição de perímetro para montar a função.
Passo 2
Sejam
e
os catetos. A área vale
logo
Também sabemos que, pelo Teorema de Pitágoras,
e que o perímetro é
Passo 3
Defina
. Da relação do perímetro vem
Por outro lado, somando e elevando ao quadrado temos
então
Passo 4
Igualando as duas expressões para
,
Elevando ao quadrado,
e daí isolamos
:
Passo 5
Para o triângulo existir com
e área fixa, o menor caso ocorre quando
, de modo que
e
. Nesse caso o perímetro mínimo é
Como aumentando
cresce também
, o domínio de
é