Encontre uma fórmula para a função descrita e obtenha seu domínio.
Expreesse a hipotenusa do triângulo retângulo com uma área de 25 m^2 como uma função do seu perímetro P.

Passo 1

O enunciado pede a hipotenusa c de um triângulo retângulo com área fixa de 25 m^2 expressa em função do perímetro P. Vamos usar a fórmula da área, a relação de Pitágoras e a definição de perímetro para montar a função.

Passo 2

Sejam a e b os catetos. A área vale
ab2=25
logo
ab=50
Também sabemos que, pelo Teorema de Pitágoras,
c^2=a^2+b^2,
e que o perímetro é
P=a+b+c

Passo 3

Defina S=a+b. Da relação do perímetro vem
S=P-c
Por outro lado, somando e elevando ao quadrado temos
S^2=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=c^2+2cdot50=c^2+100,
então
S=raizc^2+100

Passo 4

Igualando as duas expressões para S,
P-c=raizc^2+100
Elevando ao quadrado,
(P-c)^2=c^2+100 Longrightarrow P^2-2Pc+c^2=c^2+100 Longrightarrow P^2-2Pc=100
e daí isolamos c:
c=P^2-1002P

Passo 5

Para o triângulo existir com a,b>0 e área fixa, o menor caso ocorre quando a=b, de modo que a=b=raiz50=5raiz2 e c=10. Nesse caso o perímetro mínimo é
Pmin=2cdot5raiz2+10=10raiz2+10
Como aumentando c cresce também P, o domínio de P é
P>=10+10raiz2

Resposta

c(P)=P^2-1002P, domínio: P>=10+10raiz2 í

Exercícios relacionados