Encontre a fórmula genérica para as integrais de Seno e Cosseno.
integral sen^n x d x
integral cos ^n x d x

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar a fórmula genérica para as integrais de seno e cosseno elevadas a uma potência qualquer, ou seja:
integral sen^n x , dx e integral cos^n x , dx
Aqui, estamos lidando com integrais de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes e entender como reduzir o expoente das funções trigonométricas para encontrar uma fórmula geral.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral de sen^n x. Para facilitar, vamos usar a integração por partes, que é baseada na fórmula:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, escolhemos partes da nossa integral para serem u e dv. A ideia é reduzir o expoente de sen x e conseguir uma relação recursiva.

Passo 3

Vamos definir:
  • u = sen^n-1 x, então du = (n-1) sen^n-2 x cdot cos x , dx
  • dv = sen x , dx, então v = -cos x
Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral sen^n x , dx = -sen^n-1 x cdot cos x + (n-1) integral sen^n-2 x cdot cos^2 x , dx

Passo 4

Agora, vamos simplificar a integral restante. Sabemos que cos^2 x = 1 - sen^2 x. Substituindo isso na expressão:
integral sen^n x , dx = -sen^n-1 x cdot cos x + (n-1) integral sen^n-2 x cdot (1 - sen^2 x) , dx
Isso nos dá duas integrais mais simples:
= -sen^n-1 x cdot cos x + (n-1) integral sen^n-2 x , dx - (n-1) integral sen^n x , dx

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para isolar integral sen^n x , dx:
integral sen^n x , dx + (n-1) integral sen^n x , dx = -sen^n-1 x cdot cos x + (n-1) integral sen^n-2 x , dx
Somando os termos semelhantes:
n integral sen^n x , dx = -sen^n-1 x cdot cos x + (n-1) integral sen^n-2 x , dx

Passo 6

Finalmente, isolamos integral sen^n x , dx:
integral sen^n x , dx = -sen^n-1 x cdot cos xn + n-1n integral sen^n-2 x , dx
Essa é a fórmula de redução para a integral de sen^n x. Ela nos permite expressar a integral de sen^n x em termos de uma integral com expoente menor.

Passo 7

Agora, vamos fazer algo similar para cos^n x. Usando integração por partes novamente:
Definimos:
  • u = cos^n-1 x, então du = -(n-1) cos^n-2 x cdot sen x , dx
  • dv = cos x , dx, então v = sen x
Aplicando a fórmula:
integral cos^n x , dx = cos^n-1 x cdot sen x + (n-1) integral cos^n-2 x cdot sen^2 x , dx

Passo 8

Simplificamos a integral usando sen^2 x = 1 - cos^2 x:
integral cos^n x , dx = cos^n-1 x cdot sen x + (n-1) integral cos^n-2 x cdot (1 - cos^2 x) , dx
Distribuindo:
= cos^n-1 x cdot sen x + (n-1) integral cos^n-2 x , dx - (n-1) integral cos^n x , dx

Passo 9

Rearranjamos para isolar integral cos^n x , dx:
integral cos^n x , dx + (n-1) integral cos^n x , dx = cos^n-1 x cdot sen x + (n-1) integral cos^n-2 x , dx
Somando os termos semelhantes:
n integral cos^n x , dx = cos^n-1 x cdot sen x + (n-1) integral cos^n-2 x , dx

Passo 10

Isolando integral cos^n x , dx:
integral cos^n x , dx = cos^n-1 x cdot sen xn + n-1n integral cos^n-2 x , dx
Essa é a fórmula de redução para a integral de cos^n x, que também nos permite reduzir o expoente na integral.

Resposta

A fórmula genérica para a integral de sen^n x é:
integral sen^n x , dx = -sen^n-1 x cdot cos xn + n-1n integral sen^n-2 x , dx
E para a integral de cos^n x é:
integral cos^n x , dx = cos^n-1 x cdot sen xn + n-1n integral cos^n-2 x , dx
Essas fórmulas permitem calcular as integrais de seno e cosseno elevados a qualquer potência n de forma recursiva.

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