Encontre a fórmula genérica para as integrais de Seno e Cosseno.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar a fórmula genérica para as integrais de seno e cosseno elevadas a uma potência qualquer, ou seja:
Aqui, estamos lidando com integrais de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes e entender como reduzir o expoente das funções trigonométricas para encontrar uma fórmula geral.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral de
. Para facilitar, vamos usar a integração por partes, que é baseada na fórmula:
Aqui, escolhemos partes da nossa integral para serem
e
. A ideia é reduzir o expoente de
e conseguir uma relação recursiva.
Passo 3
Vamos definir:
-
, então -
, então
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a integral restante. Sabemos que
. Substituindo isso na expressão:
Isso nos dá duas integrais mais simples:
Passo 5
Vamos reorganizar a equação para isolar
:
Somando os termos semelhantes:
Passo 6
Finalmente, isolamos
:
Essa é a fórmula de redução para a integral de
. Ela nos permite expressar a integral de
em termos de uma integral com expoente menor.
Passo 7
Agora, vamos fazer algo similar para
. Usando integração por partes novamente:
Definimos:
-
, então -
, então
Aplicando a fórmula:
Passo 8
Simplificamos a integral usando
:
Distribuindo:
Passo 9
Rearranjamos para isolar
:
Somando os termos semelhantes:
Passo 10
Isolando
:
Essa é a fórmula de redução para a integral de
, que também nos permite reduzir o expoente na integral.
Resposta
A fórmula genérica para a integral de
é:
E para a integral de
é:
Essas fórmulas permitem calcular as integrais de seno e cosseno elevados a qualquer potência
de forma recursiva.