Encontre a fórmula para o termo geral a_{n} da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue.
\left\{1,1, \frac{5}{7}, \frac{7}{15}, \frac{9}{31}, \frac{11}{63}, \ldots\right\}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
1, 1, 5/7, 7/15, 9/31, 11/63, …
e pede a fórmula do termo geral a_n. Aqui vamos usar reconhecimento de padrão nos numeradores e denominadores.

Passo 2

Escrevendo cada termo como
a_n = \frac{p_n}{q_n},
vemos pelos valores dados que a_1 = 1 = \tfrac{1}{1}, a_2 = 1 = \tfrac{3}{3}, a_3 = \tfrac{5}{7}, a_4 = \tfrac{7}{15}, a_5 = \tfrac{9}{31}, a_6 = \tfrac{11}{63}.

Passo 3

Observando os numeradores
p_1=1,\;p_2=3,\;p_3=5,\;p_4=7,\;p_5=9,\;p_6=11,\dots
reconhecemos a sequência dos números ímpares. O padrão é
p_n = 2n - 1.

Passo 4

Observando os denominadores
q_1=1,\;q_2=3,\;q_3=7,\;q_4=15,\;q_5=31,\;q_6=63,\dots
vemos que cada termo é uma potência de 2 menos 1. O padrão é
q_n = 2^n - 1.

Passo 5

Juntando os dois padrões temos
a_n = \frac{p_n}{q_n} = \frac{2n - 1}{2^n - 1}.
Verificamos que para n=1 1/1, para n=2 3/3=1, e para n\ge3 reproduz os termos dados.

Resposta

a_n = \frac{2n - 1}{2^n - 1}

Exercícios relacionados