Use o exercício anterior para determinar os limites das seguinte sequências: (Considere r>1 e k>0.)
a_{n}=r^{-n} \operatorname{sen}(n)

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
a_{n} = r^{-n}\,\operatorname{sen}(n),
onde r>1. O conteúdo aqui é limite de sequência que envolve um fator exponencial decrescente e uma função periódica limitada. Vamos usar o teorema do confronto (squeeze) e o fato de que \operatorname{sen}(n) é limitado.

Passo 2

Como \operatorname{sen}(n) oscila entre -1 e 1, temos para todo n:
|\operatorname{sen}(n)| \le 1.
Logo,
|a_{n}| = \bigl|r^{-n}\,\operatorname{sen}(n)\bigr| = r^{-n}\,\bigl|\operatorname{sen}(n)\bigr| \le r^{-n}.

Passo 3

Como r>1, o termo r^{-n} tende a zero quando n\to\infty. Isto é,
\lim_{n\to\infty} r^{-n} = 0.
Pelo teorema do confronto, de -r^{-n} \le a_{n} \le r^{-n} e sabendo que ambas as extremidades vão a zero, concluímos que
\lim_{n\to\infty} a_{n} = 0.

Resposta

\lim_{n\to\infty} r^{-n}\,\operatorname{sen}(n) = 0.

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