Use o exercício anterior para determinar os limites das seguinte sequências: (Considere r>1 e k>0.)
a_{n}=r^{-n} \cos (n)

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_{n}=r^{-n}\cos(n),
com r>1. O conteúdo é cálculo de limite de sequência, e vamos precisar da ideia de que se um fator tende a zero e o outro é limitado, o produto tende a zero (teorema do confronto).

Passo 2

Observamos que, por r>1, a parte geométrica
r^{-n} = \frac{1}{r^{n}}
tende a zero quando n\to\infty, ou seja,
\lim_{n\to\infty}r^{-n}=0.

Passo 3

Sabemos que o cosseno é uma função limitada, valendo sempre entre -1 e 1. Logo, para todo n,
-1 \le \cos(n) \le 1
implica
-r^{-n} \le r^{-n}\cos(n) \le r^{-n}.

Passo 4

Como \lim_{n\to\infty}(-r^{-n})=0 e \lim_{n\to\infty}r^{-n}=0, pelo teorema do confronto obtemos
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}r^{-n}\cos(n) =0.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n}=0

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