O Teorema do Valor Intermediário tem o seguinte enunciado:
Seja f:[a, b] R uma função contínua. Então, para todo valor k in R entre f(a) e f(b), existe um ponto c in] a, b[ tal que f(c)=k.
Classifique as afirmativas a seguir em verdadeiras ou falsas.
(E) Seja f:[a, b] R uma função contínua tal que f(a)>0 e f(b)>0. Então, pelo Teorema do Valor Intermediário, é possível garantir que f não tem nenhuma raiz real no intervalo [a, b].

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a veracidade da afirmativa abaixo, usando o Teorema do Valor Intermediário (TVI):
“Seja f:[a,b]toR contínua com f(a)>0 e f(b)>0. Então, pelo TVI, é possível garantir que f não tem nenhuma raiz real em [a,b].”
Vamos revisar o TVI e ver se ele permite concluir a ausência de raízes nestas condições.

Passo 2

O Teorema do Valor Intermediário diz:
Seja f:[a,b]toR contínua. Para todo kinR entre f(a) e f(b), existe cin]a,b[ tal que f(c)=k.
Em particular, para garantir existência de raiz, costuma-se aplicar com k=0 quando f(a) e f(b) têm sinais opostos.

Passo 3

Aqui temos f(a)>0 e f(b)>0. Então 0 não está entre f(a) e f(b). Logo o TVI não garante a existência de c com f(c)=0.
Por outro lado, o TVI também não assegura que não haja raiz: uma função pode começar e terminar positivas e mesmo assim ter duas raízes (ex.: oscilar para valores negativos no meio).

Passo 4

A afirmativa diz que “pelo TVI é possível garantir que não há raiz”. Mas o TVI não fornece informação sobre ausência de raízes quando f(a) e f(b) são ambos positivos. Portanto a afirmação é falsa.

Resposta

Falsa.

Exercícios relacionados