Encontre \frac{d y}{d x} em cada caso:
x \tan y+\left(y^{2}+1\right) e^{x}=\sqrt{x}

Passo 1

O enunciado fornece a relação
x\tan y + \bigl(y^{2}+1\bigr)e^{x} = \sqrt{x}
e pede \dfrac{dy}{dx}. Para resolver, vamos aplicar diferenciação implícita, usando regra do produto, regra da cadeia e as derivadas de \tan y, de e^{x} e de \sqrt{x}.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
Para x\tan y, pela regra do produto,
\frac{d}{dx}\bigl(x\tan y\bigr) = 1\cdot\tan y + x\cdot\frac{d}{dx}(\tan y) = \tan y + x\operatorname{sec}^{2}y\;\frac{dy}{dx}.
Para \bigl(y^{2}+1\bigr)e^{x}, também regra do produto,
\frac{d}{dx}\bigl((y^{2}+1)e^{x}\bigr) = \frac{d}{dx}(y^{2}+1)\,e^{x} + (y^{2}+1)\,e^{x} = 2y\,\frac{dy}{dx}\,e^{x} + (y^{2}+1)e^{x}.
Para \sqrt{x}=x^{1/2},
\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{x}\bigr) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 3

Somando as derivadas e igualando,
\tan y + x\operatorname{sec}^{2}y\,\frac{dy}{dx} + 2y\,e^{x}\,\frac{dy}{dx} + (y^{2}+1)e^{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}}.
Agrupando os termos com \frac{dy}{dx},
\bigl(x\operatorname{sec}^{2}y + 2y\,e^{x}\bigr)\frac{dy}{dx} + \tan y + (y^{2}+1)e^{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 4

Isolando \frac{dy}{dx},
\bigl(x\operatorname{sec}^{2}y + 2y\,e^{x}\bigr)\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \tan y - (y^{2}+1)e^{x},
\frac{dy}{dx} = \frac{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}} - \tan y - (y^{2}+1)e^{x}} {\displaystyle x\operatorname{sec}^{2}y + 2y\,e^{x}}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} - \tan y - (y^{2}+1)e^{x}} {x\operatorname{sec}^{2}y + 2y\,e^{x}}.

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