Encontre \frac{d y}{d x} por derivação implícita:
\operatorname{arctg}\left(x^{2} y\right)=x+x y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar \displaystyle \frac{dy}{dx} na relação implícita
\arctan\bigl(x^2 y\bigr) \;=\; x + x\,y^2.
Aqui vamos aplicar a regra da cadeia e a regra do produto para derivar ambos os lados em relação a x, e em seguida isolar \displaystyle \frac{dy}{dx}.

Passo 2

Derivando o lado esquerdo pela cadeia, temos
\frac{d}{dx}\bigl[\arctan(x^2 y)\bigr] =\frac{1}{1 + (x^2 y)^2}\,\frac{d}{dx}(x^2 y) =\frac{1}{1 + x^4 y^2}\,\bigl(2x y + x^2 y'\bigr).
No lado direito, derivando x + x\,y^2 com produto, dá
\frac{d}{dx}\bigl[x + x\,y^2\bigr] =1 + \bigl( x\cdot 2y\,y' + y^2\cdot1\bigr) =1 + y^2 + 2x y\,y'.

Passo 3

Igualando as duas derivadas:
\frac{2x y + x^2 y'}{1 + x^4 y^2} =1 + y^2 + 2x y\,y'.
Multiplicando ambos os lados por 1 + x^4 y^2:
2x y + x^2 y' =(1 + x^4 y^2)(1 + y^2) + 2x y\,y'\,(1 + x^4 y^2).

Passo 4

Agora agrupamos todos os termos com y' de um lado:
x^2 y' - 2x y\,(1 + x^4 y^2)\,y' =(1 + x^4 y^2)(1 + y^2) - 2x y.
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y'\,\bigl[x^2 - 2x y\,(1 + x^4 y^2)\bigr] =(1 + x^4 y^2)(1 + y^2) - 2x y.

Resposta

\frac{dy}{dx} =\frac{(1 + x^4 y^2)(1 + y^2) - 2x y} {x^2 - 2x y\,(1 + x^4 y^2)}.

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