1. Use derivação logarítmica para mostrar que \frac{d}{d x} a^{x}=(\ln a) a^{x}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de a^x usando derivação logarítmica, que é uma técnica útil quando a variável está no expoente. Vamos definir uma função y e aplicar logaritmo natural para simplificar a diferenciação.

Passo 2

Definimos
y = a^x.
Aplicando logaritmo natural em ambos os lados, usamos a propriedade \ln(a^x)=x\ln a, e obtemos
\ln y = \ln\bigl(a^x\bigr)=x\ln a.

Passo 3

Agora diferenciamos implicitamente em relação a x. À esquerda, a derivada de \ln y é \dfrac{y'}{y}; à direita, a derivada de x\ln a (com \ln a constante) é \ln a. Logo,
\frac{y'}{y} = \ln a.

Passo 4

Isolando y', multiplicamos ambos os lados por y:
y' = y\;\ln a.
Como y=a^x, substituímos de volta e concluímos
y'=(\ln a)\,a^x.

Resposta

\frac{d}{dx}a^x = (\ln a)\,a^x.

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