Suponha que f, g, h são funções contínuas. Prove que \int_{\gamma} f(x) d x+g(y) d y+h(z) d z é independente do caminho escolhido.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em \mathbb{R}^3, a integral de linha
\int_{\gamma}f(x)\,dx \;+\; g(y)\,dy \;+\; h(z)\,dz
é independente do caminho \gamma.
O conteúdo envolvido é o de formas diferenciais exatas e campos conservativos: basta encontrar uma função potencial cuja diferencial total seja f(x)\,dx+g(y)\,dy+h(z)\,dz.

Passo 2

Defina a 1-forma
\omega = f(x)\,dx + g(y)\,dy + h(z)\,dz.
Como cada função depende de uma única variável, todas as derivadas mistas de seus coeficientes se anulam:
\frac{\partial f(x)}{\partial y} = 0 = \frac{\partial g(y)}{\partial x}, \quad \frac{\partial f(x)}{\partial z} = 0 = \frac{\partial h(z)}{\partial x}, \quad \frac{\partial g(y)}{\partial z} = 0 = \frac{\partial h(z)}{\partial y}.
Em \mathbb{R}^3, domínio simplesmente conexo, isso implica que \omega é exata.

Passo 3

Vamos construir explicitamente a função potencial \Phi(x,y,z). Fixe um ponto de referência (x_0,y_0,z_0) e defina
\Phi(x,y,z) = \int_{x_0}^{x} f(\xi)\,d\xi \;+\; \int_{y_0}^{y} g(\eta)\,d\eta \;+\; \int_{z_0}^{z} h(\zeta)\,d\zeta.
Pela regra da diferenciação sob o sinal de integral e independência das variáveis, obtém-se
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=f(x),\quad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=g(y),\quad \frac{\partial \Phi}{\partial z}=h(z),
ou seja,
d\Phi = f(x)\,dx + g(y)\,dy + h(z)\,dz = \omega.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha para campos conservativos, para qualquer curva \gamma de ponto inicial A a ponto final B vale
\int_{\gamma}\omega = \Phi(B)-\Phi(A),
que depende apenas de \Phi em A e B, não de \gamma. Logo a integral é independente do caminho.

Resposta

A integral
\int_{\gamma}f(x)\,dx + g(y)\,dy + h(z)\,dz
é independente do caminho, pois a 1-forma é exata com potencial
\Phi(x,y,z)=\displaystyle\int_{x_0}^{x}f(\xi)\,d\xi+\int_{y_0}^{y}g(\eta)\,d\eta+\int_{z_0}^{z}h(\zeta)\,d\zeta.

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