Suponha que
são funções contínuas. Prove que
é independente do caminho escolhido.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em
, a integral de linha
é independente do caminho
.
O conteúdo envolvido é o de formas diferenciais exatas e campos conservativos: basta encontrar uma função potencial cuja diferencial total seja .
O conteúdo envolvido é o de formas diferenciais exatas e campos conservativos: basta encontrar uma função potencial cuja diferencial total seja
Passo 2
Defina a 1-forma
Como cada função depende de uma única variável, todas as derivadas mistas de seus coeficientes se anulam:
Em
, domínio simplesmente conexo, isso implica que
é exata.
Passo 3
Vamos construir explicitamente a função potencial
. Fixe um ponto de referência
e defina
Pela regra da diferenciação sob o sinal de integral e independência das variáveis, obtém-se
ou seja,
Passo 4
Pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha para campos conservativos, para qualquer curva
de ponto inicial
a ponto final
vale
que depende apenas de
em
e
, não de
. Logo a integral é independente do caminho.
Resposta
A integral
é independente do caminho, pois a 1-forma é exata com potencial
.