Seja
.
(a) Mostre que
.
(b) Seja
uma região no plano que contem o círculo
mas não contêm a origem. Mostre que
não é independente do caminho em
. [SUGESTÃO: Calcule primeiro
e depois
onde
é o semicírculo parametrizado por
, e
é o semicírculo parametrizado por
. .
(a) Mostre que
(b) Seja
Passo 1
O enunciado define o campo vetorial
em
excluindo a origem, e pede:
(a) mostrar que ;
(b) exibir duas curvas e
com mesmos extremos mas que geram integrais
diferentes, provando que não é independente do caminho em
.
(a) mostrar que
(b) exibir duas curvas
Passo 2
Para verificar
em coordenadas planas usamos
onde
e
.
Calculemos
Calculemos
Logo
Passo 3
Agora definimos
como o semicírculo superior de raio 1, de
a
:
Então
O produto escalar é
Integrando de
a
:
Passo 4
Definimos
como o semicírculo inferior, também de
a
:
O produto escalar fica
logo
Passo 5
Como
e
, os dois valores são diferentes apesar de
e
terem os mesmos pontos iniciais e finais. Isso mostra que o integral de linha não é independente do caminho em
.
Resposta
(a)
(b) e
logo não é independente do caminho em
.
(b)