Seja \vec{F}(x, y)=\frac{y}{x^{2}+y^{2}} \vec{i}-\frac{x}{x^{2}+y^{2}} \vec{j}.
(a) Mostre que \nabla \times \vec{F}=0.
(b) Seja D uma região no plano que contem o círculo x^{2}+y^{2}=1 mas não contêm a origem. Mostre que \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d \vec{r} não é independente do caminho em D. [SUGESTÃO: Calcule primeiro \int_{\gamma_{1}} \vec{F} \cdot d \vec{r} e depois \int_{\gamma_{2}} \vec{F} \cdot d \vec{r} onde \gamma_{1} é o semicírculo parametrizado por \vec{r}_{1}(t)= \cos t \vec{i}+\sin t \vec{j}, 0 \leq t \leq \pi, e \gamma_{2} é o semicírculo parametrizado por \vec{r}_{2}(t)=\cos t \vec{i}-\sin t \vec{j}, 0 \leq t \leq \pi. .

Passo 1

O enunciado define o campo vetorial
\vec F(x,y) = \frac{y}{x^2+y^2}\,\vec i \;-\;\frac{x}{x^2+y^2}\,\vec j
em \R^2 excluindo a origem, e pede:
(a) mostrar que \nabla\times\vec F=0;
(b) exibir duas curvas \gamma_1 e \gamma_2 com mesmos extremos mas que geram integrais \displaystyle\int\vec F\cdot d\vec r diferentes, provando que não é independente do caminho em D.

Passo 2

Para verificar \nabla\times\vec F=0 em coordenadas planas usamos
\nabla\times\vec F =\frac{\partial}{\partial x}\!\bigl(F_2\bigr) -\frac{\partial}{\partial y}\!\bigl(F_1\bigr),
onde F_1=\dfrac{y}{x^2+y^2} e F_2=-\dfrac{x}{x^2+y^2}.
Calculemos
\frac{\partial F_2}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(-\frac{x}{x^2+y^2}\Bigr) =-\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2} =\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2},
\frac{\partial F_1}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{y}{x^2+y^2}\Bigr) =\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2} =\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}.
Logo
\nabla\times\vec F =\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} -\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} =0.

Passo 3

Agora definimos \gamma_1 como o semicírculo superior de raio 1, de (1,0) a (-1,0):
\vec r_1(t)=(\cos t,\;\sin t),\quad 0\le t\le \pi.
Então
\vec r_1'(t)=(-\sin t,\;\cos t),
\vec F\bigl(\vec r_1(t)\bigr) =\Bigl(\frac{\sin t}{1},\;-\frac{\cos t}{1}\Bigr) =(\sin t,\,-\cos t).
O produto escalar é
\vec F(\vec r_1)\cdot\vec r_1' =\sin t\cdot(-\sin t)+(-\cos t)\cdot\cos t =-\bigl(\sin^2t+\cos^2t\bigr)=-1.
Integrando de 0 a \pi:
\int_{\gamma_1}\vec F\cdot d\vec r =\int_{0}^{\pi}(-1)\,dt =-\pi.

Passo 4

Definimos \gamma_2 como o semicírculo inferior, também de (1,0) a (-1,0):
\vec r_2(t)=(\cos t,\,-\sin t),\quad 0\le t\le \pi,
\vec r_2'(t)=(-\sin t,\,-\cos t),
\vec F\bigl(\vec r_2(t)\bigr) =\Bigl(\frac{-\sin t}{1},\;-\frac{\cos t}{1}\Bigr) =(-\sin t,\,-\cos t).
O produto escalar fica
\vec F(\vec r_2)\cdot\vec r_2' =(-\sin t)(-\,\sin t)+(-\cos t)(-\,\cos t) =\sin^2t+\cos^2t=1,
logo
\int_{\gamma_2}\vec F\cdot d\vec r =\int_{0}^{\pi}1\,dt =\pi.

Passo 5

Como \displaystyle\int_{\gamma_1}\vec F\cdot d\vec r=-\pi e \displaystyle\int_{\gamma_2}\vec F\cdot d\vec r=\pi, os dois valores são diferentes apesar de \gamma_1 e \gamma_2 terem os mesmos pontos iniciais e finais. Isso mostra que o integral de linha não é independente do caminho em D.

Resposta

(a) \nabla\times\vec F=0.
(b) \displaystyle\int_{\gamma_1}\vec F\cdot d\vec r=-\pi e \displaystyle\int_{\gamma_2}\vec F\cdot d\vec r=\pi, logo não é independente do caminho em D.

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