Mostre que as integrais de linha são independentes do caminho, e calcule as integrais.
onde
é a curva parametrizada por
.
Passo 1
O enunciado nos dá a integral de linha de um campo vetorial
definido por
ao longo da curva
dada por
,
.
O objetivo é mostrar que a integral é independente do caminho e, em seguida, calcular
. Para isso, precisaremos (i) verificar que
é um campo conservativo em
e (ii) encontrar sua potencial escalar.
O objetivo é mostrar que a integral é independente do caminho e, em seguida, calcular
Passo 2
Verificamos que
é conservativo calculando o rotacional
. Como
temos, por exemplo,
mas como
, segue
. De modo análogo, obtemos
e
.
Logo em todo
, que é simplesmente conexo, implicando que
é conservativo e a integral independe do caminho.
Logo
Passo 3
Como
é conservativo, existe uma função potencial
tal que
. Para encontrá-la, integramos
em relação a
, vendo
como constantes:
Para ajustar a constante
, verificamos que
deve igualar
. O termo
já produz
ao derivar em
, forçando
constante. Assim,
Passo 4
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo para campos conservativos,
Aqui
e
.
Passo 5
Calculamos as avaliações:
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