Mostre que as integrais de linha são independentes do caminho, e calcule as integrais.
\begin{aligned} \int_{\gamma} & \frac{x}{1+x^{2}+y^{2}+z^{2}} d x+\frac{y}{1+x^{2}+y^{2}+z^{2}} d y+ \\\ & \quad+\frac{z}{1+x^{2}+y^{2}+z^{2}} d z \end{aligned}
onde \gamma é a curva parametrizada por \vec{r}(t)=t \vec{i}+ t^{2} \vec{j}+t^{4} \vec{k}, 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado nos dá a integral de linha de um campo vetorial \mathbf{F}(x,y,z) definido por
\mathbf{F}(x,y,z)=\Bigl(\frac{x}{1+x^{2}+y^{2}+z^{2}},\;\frac{y}{1+x^{2}+y^{2}+z^{2}},\;\frac{z}{1+x^{2}+y^{2}+z^{2}}\Bigr)
ao longo da curva \gamma dada por \mathbf{r}(t)=(t,t^{2},t^{4}), 0\le t\le1.
O objetivo é mostrar que a integral é independente do caminho e, em seguida, calcular
\displaystyle \int_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}. Para isso, precisaremos (i) verificar que \mathbf{F} é um campo conservativo em \mathbb{R}^{3}\setminus\varnothing e (ii) encontrar sua potencial escalar.

Passo 2

Verificamos que \mathbf{F} é conservativo calculando o rotacional \nabla\times\mathbf{F}. Como
P=\frac{x}{1+R^{2}},\quad Q=\frac{y}{1+R^{2}},\quad R=\frac{z}{1+R^{2}},\quad R^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},
temos, por exemplo,
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{x}{1+R^{2}}\Bigr) =-x\frac{2y}{(1+R^{2})^{2}} \quad\text{e}\quad \frac{\partial Q}{\partial x} =-y\frac{2x}{(1+R^{2})^{2}},
mas como -x\cdot2y=-y\cdot2x, segue \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x. De modo análogo, obtemos
\partial P/\partial z=\partial R/\partial x e \partial Q/\partial z=\partial R/\partial y.
Logo \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} em todo \mathbb{R}^{3}, que é simplesmente conexo, implicando que \mathbf{F} é conservativo e a integral independe do caminho.

Passo 3

Como \mathbf{F} é conservativo, existe uma função potencial f(x,y,z) tal que \nabla f=\mathbf{F}. Para encontrá-la, integramos
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{x}{1+R^{2}}
em relação a x, vendo y,z como constantes:
f(x,y,z) =\int\frac{x}{1+R^{2}}\,dx =\frac{1}{2}\ln\bigl(1+x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)+C(y,z).
Para ajustar a constante C(y,z), verificamos que \partial f/\partial y deve igualar Q. O termo \tfrac{1}{2}\ln(1+R^{2}) já produz \tfrac{y}{1+R^{2}} ao derivar em y, forçando C constante. Assim,
f(x,y,z) =\frac{1}{2}\ln\bigl(1+x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr).

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo para campos conservativos,
\int_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =f\bigl(\mathbf{r}(1)\bigr)-f\bigl(\mathbf{r}(0)\bigr).
Aqui \mathbf{r}(1)=(1,1,1) e \mathbf{r}(0)=(0,0,0).

Passo 5

Calculamos as avaliações:
f(1,1,1) =\tfrac{1}{2}\ln\bigl(1+1^{2}+1^{2}+1^{2}\bigr) =\tfrac{1}{2}\ln(4) =\ln2,
f(0,0,0) =\tfrac{1}{2}\ln(1) =0.
Logo
\int_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\ln2-0 =\ln2.

Resposta

\displaystyle \ln2

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