Mostre que as integrais de linha são independentes do caminho, e calcule as integrais.
onde
é curva obtida pela interseção de
e
, e indo de
até
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a forma diferencial
é independente do caminho (ou seja, que o campo é conservativo) no domínio todo de , e em seguida calcular
onde é a curva de interseção da esfera
com o plano
, indo de
até
. Para isso, vamos (i) verificar que o campo é irrotacional, (ii) encontrar um potencial escalar
tal que
, e (iii) usar
.
é independente do caminho (ou seja, que o campo é conservativo) no domínio todo de
onde
Passo 2
Calcular o rotacional de
com
Usamos
Logo
Passo 3
Encontrar a função potencial
tal que
Integrando
:
Agora impomos
:
Logo
. Finalmente
:
Podemos escolher
, então
Passo 4
Como a integral de linha é independente do caminho, vale
Calculemos
Portanto