Mostre que as integrais de linha são independentes do caminho, e calcule as integrais.
\int_{\gamma} 3 x^{2} y z d x+x^{3} z d y+\left(x^{3} y-4 z\right) d z onde \gamma é curva obtida pela interseção de x^{2}+y^{2}+z^{2}=3 e y=x, e indo de (-1,-1,1) até (1,1,-1).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a forma diferencial
\omega = 3x^{2}y z\,dx + x^{3}z\,dy + \bigl(x^{3}y - 4z\bigr)\,dz
é independente do caminho (ou seja, que o campo é conservativo) no domínio todo de \mathbb{R}^3, e em seguida calcular
\displaystyle \int_{\gamma}\omega
onde \gamma é a curva de interseção da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=3 com o plano y=x, indo de A=(-1,-1,1) até B=(1,1,-1). Para isso, vamos (i) verificar que o campo é irrotacional, (ii) encontrar um potencial escalar \varphi tal que d\varphi=\omega, e (iii) usar \varphi(B)-\varphi(A).

Passo 2

Calcular o rotacional de F=(P,Q,R) com
P=3x^{2}y z,\quad Q=x^{3}z,\quad R=x^{3}y-4z.
Usamos
\nabla\times F = \bigl(R_{y}-Q_{z},\;P_{z}-R_{x},\;Q_{x}-P_{y}\bigr).
1. R_{y}=\partial_{y}(x^{3}y-4z)=x^{3}, Q_{z}=\partial_{z}(x^{3}z)=x^{3} \Rightarrow R_{y}-Q_{z}=0.
2. P_{z}=\partial_{z}(3x^{2}yz)=3x^{2}y, R_{x}=\partial_{x}(x^{3}y-4z)=3x^{2}y \Rightarrow P_{z}-R_{x}=0.
3. Q_{x}=\partial_{x}(x^{3}z)=3x^{2}z, P_{y}=\partial_{y}(3x^{2}yz)=3x^{2}z \Rightarrow Q_{x}-P_{y}=0.
Logo \nabla\times F=0 em todo \mathbb{R}^3, que é simplesmente conectado, então F é conservativo.

Passo 3

Encontrar a função potencial \varphi(x,y,z) tal que
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=3x^{2}y z,\quad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=x^{3}z,\quad \frac{\partial\varphi}{\partial z}=x^{3}y-4z.
Integrando \partial_{x}\varphi=P:
\varphi(x,y,z)=\int 3x^{2}y z\,dx = x^{3}y z + g(y,z).
Agora impomos \partial_{y}\varphi=Q:
\partial_{y}(x^{3}y z + g(y,z)) = x^{3}z + g_{y}(y,z) \stackrel{!}{=} x^{3}z \quad\Longrightarrow\quad g_{y}(y,z)=0
Logo g(y,z)=h(z). Finalmente \partial_{z}\varphi=R:
\partial_{z}(x^{3}y z + h(z)) = x^{3}y + h'(z) \stackrel{!}{=} x^{3}y - 4z \quad\Longrightarrow\quad h'(z)=-4z,
h(z)=-2z^{2}+C.
Podemos escolher C=0, então
\varphi(x,y,z)=x^{3}y z - 2z^{2}.

Passo 4

Como a integral de linha é independente do caminho, vale
\int_{\gamma}\omega = \varphi\bigl(B\bigr)-\varphi\bigl(A\bigr).
Calculemos
\varphi\bigl(1,1,-1\bigr) =1^{3}\cdot1\cdot(-1)-2\cdot(-1)^{2}=-1-2=-3,
\varphi\bigl(-1,-1,1\bigr) =(-1)^{3}\cdot(-1)\cdot1-2\cdot1^{2} =1-2=-1.
Portanto
\int_{\gamma}\omega = \bigl(-3\bigr)-\bigl(-1\bigr) = -2.

Resposta

-2

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