Encontre \frac{d y}{d x}.
\sqrt{x}-2 \sqrt{y}=3

Passo 1

O enunciado pede a derivada \dfrac{d y}{d x} da função implícita dada pela equação
\sqrt{x}-2\sqrt{y}=3.
Informações relevantes fornecidas:
  • A relação entre x e y é \sqrt{x}-2\sqrt{y}=3.
  • As raízes quadradas implicam que devemos ter x\ge 0 e y\ge 0. (Além disso, pela equação, \sqrt{x}\ge 3, logo x\ge 9.)
  • O objetivo é encontrar \dfrac{d y}{d x}, isto é, a taxa de variação de y em relação a x.

Passo 2

Conceito importante que vamos usar: regra da cadeia e derivada da raiz quadrada.
  • A função u\mapsto\sqrt{u} tem derivada
\frac{d}{du}\sqrt{u}=\frac{1}{2\sqrt{u}}.
Aqui u é uma variável qualquer; se u depende de x, pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\sqrt{u(x)}=\frac{1}{2\sqrt{u(x)}}\cdot u'(x).
Explicando os símbolos: u'(x) é a derivada de u em relação a x. No nosso problema, quando diferenciarmos \sqrt{y} com respeito a x, devemos aplicar a regra da cadeia com u(y)=y e multiplicar por dy/dx.

Passo 3

Agora diferenciamos ambos os lados da equação \sqrt{x}-2\sqrt{y}=3 em relação a x. O lado direito é constante, então sua derivada é 0.
  • Derivada de \sqrt{x}: usando a fórmula acima com u(x)=x,
\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
  • Derivada de -2\sqrt{y}: é -2 vezes a derivada de \sqrt{y}. Aplicando regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\big(-2\sqrt{y}\big) = -2\cdot\frac{1}{2\sqrt{y}}\cdot\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{y}}\cdot\frac{dy}{dx}.

Passo 4

Juntando as derivadas obtidas e igualando a zero (derivada do lado direito):
\frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{y}}\cdot\frac{dy}{dx} = 0.
Agora isolamos \dfrac{dy}{dx}. Primeiro movemos o termo com \dfrac{dy}{dx} para o outro lado:
\frac{1}{\sqrt{y}}\cdot\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}.
Multiplicamos ambos os lados por \sqrt{y} para isolar \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{y}}{2\sqrt{x}}.

Passo 5

Verificação alternativa (opcional, para te deixar mais confiante): podemos isolar \sqrt{y} da equação original e diferenciar explicitamente.
  • Da equação \sqrt{x}-2\sqrt{y}=3 vem
\sqrt{y}=\frac{\sqrt{x}-3}{2}.
Elevando ao quadrado,
y=\left(\frac{\sqrt{x}-3}{2}\right)^{2}.
Derivando explicitamente (usando regra da cadeia e que \frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}):
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(\frac{(\sqrt{x}-3)^2}{4}\right) =\frac{1}{4}\cdot 2(\sqrt{x}-3)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} =\frac{\sqrt{x}-3}{4\sqrt{x}}.
Usando \sqrt{y}=(\sqrt{x}-3)/2, a expressão anterior se transforma em
\frac{\sqrt{x}-3}{4\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{y}}{2\sqrt{x}},
que coincide com o resultado por diferenciação implícita. Beleza — está consistente.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\sqrt{y}}{2\sqrt{x}}

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