Encontre
.
Passo 1
O enunciado pede a derivada
da função implícita dada pela equação
Informações relevantes fornecidas:
- A relação entre
e é . - As raízes quadradas implicam que devemos ter
e . (Além disso, pela equação, , logo .) - O objetivo é encontrar
, isto é, a taxa de variação de em relação a .
Passo 2
Conceito importante que vamos usar: regra da cadeia e derivada da raiz quadrada.
- A função
tem derivada
Aqui
é uma variável qualquer; se
depende de
, pela regra da cadeia:
Explicando os símbolos:
é a derivada de
em relação a
. No nosso problema, quando diferenciarmos
com respeito a
, devemos aplicar a regra da cadeia com
e multiplicar por
.
Passo 3
Agora diferenciamos ambos os lados da equação
em relação a
. O lado direito é constante, então sua derivada é
.
- Derivada de
: usando a fórmula acima com ,
- Derivada de
: é vezes a derivada de . Aplicando regra da cadeia,
Passo 4
Juntando as derivadas obtidas e igualando a zero (derivada do lado direito):
Agora isolamos
. Primeiro movemos o termo com
para o outro lado:
Multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Passo 5
Verificação alternativa (opcional, para te deixar mais confiante): podemos isolar
da equação original e diferenciar explicitamente.
- Da equação
vem
Elevando ao quadrado,
Derivando explicitamente (usando regra da cadeia e que
):
Usando
, a expressão anterior se transforma em
que coincide com o resultado por diferenciação implícita. Beleza — está consistente.