Encontre \frac{d y}{d x}.
y=\left(x^{3}-4+\ln (x)\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar \dfrac{d y}{d x} para a função
y=\left(x^{3}-4+\ln(x)\right)^{2}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\;y está definida por \;y=(x^{3}-4+\ln(x))^{2}.
A presença de \ln(x) implica que o domínio considerado é \;x>0.
A única pergunta: calcular \dfrac{d y}{d x}.

Passo 2

Vamos lembrar a regra que vamos usar (cadeia + regra da potência), explicando-a passo a passo.
Se tivermos uma função composta \;y=(u(x))^{n} com n constante e u(x) função de x, a derivada é dada por
\frac{d}{dx}(u(x))^{n}=n\,(u(x))^{n-1}\cdot u'(x).
Essa fórmula vem de aplicar a regra da potência à variável t\mapsto t^{n} (que tem derivada n t^{n-1}) e depois multiplicar pela derivada do interior u'(x) — é a famosa regra da cadeia. No nosso caso n=2, então a derivada externa transforma (\cdot)^{2} em 2(\cdot) e multiplicamos pela derivada do que está dentro.

Passo 3

Identificamos o “interior” da composição:
u(x)=x^{3}-4+\ln(x).
Agora calculamos u'(x) termo a termo:
  • Derivada de x^{3} é 3x^{2} (regra da potência: \frac{d}{dx}x^{m}=m x^{m-1}).
  • Derivada de -4 é 0 (constante).
  • Derivada de \ln(x) é \dfrac{1}{x} (válida para \;x>0).
Assim
u'(x)=3x^{2}+\frac{1}{x}.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia com n=2:
\frac{d y}{d x}=2\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Substituindo u(x) e u'(x) obtemos
\frac{d y}{d x}=2\bigl(x^{3}-4+\ln(x)\bigr)\left(3x^{2}+\frac{1}{x}\right).

Passo 5

Podemos simplificar a expressão colocando tudo sobre um único denominador comum x. Observando que
3x^{2}+\frac{1}{x}=\frac{3x^{3}+1}{x},
temos a forma mais compacta
\frac{d y}{d x}=\frac{2\bigl(3x^{3}+1\bigr)\bigl(x^{3}-4+\ln(x)\bigr)}{x},
válida para \;x>0.

Resposta

\frac{d y}{d x}=\frac{2\bigl(3x^{3}+1\bigr)\bigl(x^{3}-4+\ln(x)\bigr)}{x}

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