Encontre \frac{d y}{d x}.
y=x e^{x}-\cos \left(4 x^{2}\right)

Passo 1

O que o problema pede: encontrar \frac{d y}{d x}.
Informações dadas: \displaystyle y = x e^{x} - \cos\!\bigl(4x^{2}\bigr).

Passo 2

Regra básica que vamos usar primeiro: a derivada é linear, ou seja, a derivada de uma soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas. Assim podemos derivar cada termo separadamente:
\frac{d}{dx}\bigl[x e^{x} - \cos(4x^{2})\bigr] = \frac{d}{dx}\bigl[x e^{x}\bigr] - \frac{d}{dx}\bigl[\cos(4x^{2})\bigr].

Passo 3

Derivando o primeiro termo: aqui usamos a regra do produto. A regra do produto diz:
\frac{d}{dx}\bigl[u(x)\,v(x)\bigr] = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x),
onde u'(x) e v'(x) são as derivadas de u e v.
No nosso caso tome u(x)=x e v(x)=e^{x}. Então
u'(x)=1,\qquad v'(x)=e^{x}
pois a derivada de e^{x} é e^{x}.
Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl[x e^{x}\bigr] = 1\cdot e^{x} + x\cdot e^{x} = e^{x} + x e^{x}.

Passo 4

Derivando o segundo termo: \cos(4x^{2}). Aqui usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz:
\frac{d}{dx}\bigl[f(g(x))\bigr] = f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
Para f(u)=\cos u temos f'(u)=-\sin u. Para g(x)=4x^{2} temos
g'(x)=8x.
Então
\frac{d}{dx}\bigl[\cos(4x^{2})\bigr] = -\sin\bigl(4x^{2}\bigr)\cdot 8x = -8x\sin\bigl(4x^{2}\bigr).

Passo 5

Como no original tínhamos um sinal negativo em frente a \cos(4x^{2}), o termo total proveniente disso é
- \frac{d}{dx}\bigl[\cos(4x^{2})\bigr] = -\bigl(-8x\sin(4x^{2})\bigr) = 8x\sin(4x^{2}).

Passo 6

Agora somamos as derivadas dos dois termos (resultado do Passo 3 mais resultado do Passo 5):
\frac{dy}{dx} = \bigl(e^{x} + x e^{x}\bigr) + 8x\sin\bigl(4x^{2}\bigr).
Podemos fatorar e^{x} se quisermos deixá-la mais compacta:
\frac{dy}{dx} = e^{x}(1+x) + 8x\sin\bigl(4x^{2}\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=e^{x}(1+x)+8x\sin\bigl(4x^{2}\bigr)

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