Encontre \frac{d y}{d x}.
y=\frac{x^{3}+\sqrt{x}}{x}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar \dfrac{d y}{d x} da função
y=\frac{x^{3}+\sqrt{x}}{x}.
Informações dadas importantes:
  • A função está escrita como uma fração com numerador x^3+\sqrt{x} e denominador x.
  • A presença de \sqrt{x} implica que o domínio natural considerado aqui é x>0 (vamos assumir isso).
  • O objetivo é calcular a derivada em relação a x, ou seja \dfrac{d y}{d x}.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão dividindo termo a termo por x. Lembre-se que \sqrt{x}=x^{1/2} e que, ao dividir potências de mesma base, somamos os expoentes com sinal (subtraímos): x^{a}/x^{b}=x^{a-b}. Aplicando isso:
y=\frac{x^{3}}{x}+\frac{x^{1/2}}{x}=x^{3-1}+x^{1/2-1}=x^{2}+x^{-1/2}.
Agora temos y escrita como soma de potências de x, o que facilita a diferenciação.

Passo 3

Vamos usar a regra básica de derivação para potências (regra do poder). Essa regra diz:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1},
onde n é qualquer número real (inteiro, fracionário ou negativo), desde que estejamos no domínio onde x^{n} está definido. Aqui aplicaremos a regra termo a termo, pois a derivada de soma é a soma das derivadas:
\frac{d}{dx}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=\frac{d}{dx}f(x)+\frac{d}{dx}g(x).

Passo 4

Aplicamos a regra do passo anterior aos termos de y=x^{2}+x^{-1/2}.
Derivada do primeiro termo:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2\,x^{2-1}=2x.
Derivada do segundo termo:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1/2}\bigr)=\left(-\tfrac{1}{2}\right)x^{-1/2-1}=\left(-\tfrac{1}{2}\right)x^{-3/2}.
Portanto, somando as derivadas:
\frac{d y}{d x}=2x-\tfrac{1}{2}x^{-3/2}.

Passo 5

Podemos reescrever a forma encontrada de maneira mais explícita em potências positivas no denominador, pois x^{-3/2}=\dfrac{1}{x^{3/2}}. Assim:
\frac{d y}{d x}=2x-\frac{1}{2x^{3/2}}.
Se quisermos juntar em uma única fração com denominador 2x^{3/2}, fazemos:
2x=\frac{4x^{5/2}}{2x^{3/2}},\qquad \frac{1}{2x^{3/2}}=\frac{1}{2x^{3/2}},
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\frac{d y}{d x}=\frac{4x^{5/2}-1}{2x^{3/2}}.
Ambas as formas acima são equivalentes; mantenha a que achar mais clara na prova.

Passo 6

Resumo e observação final: a derivada foi obtida aplicando a regra do poder a cada termo após simplificar a função. Lembre-se de que todas as expressões são válidas para x>0 devido à presença de \sqrt{x}.

Resposta

\displaystyle \frac{d y}{d x}=2x-\frac{1}{2x^{3/2}}=\frac{4x^{5/2}-1}{2x^{3/2}}

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