Encontre
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar
da função
Informações dadas importantes:
- A função está escrita como uma fração com numerador
e denominador . - A presença de
implica que o domínio natural considerado aqui é (vamos assumir isso). - O objetivo é calcular a derivada em relação a
, ou seja .
Passo 2
Primeiro simplificamos a expressão dividindo termo a termo por
. Lembre-se que
e que, ao dividir potências de mesma base, somamos os expoentes com sinal (subtraímos):
. Aplicando isso:
Agora temos
escrita como soma de potências de
, o que facilita a diferenciação.
Passo 3
Vamos usar a regra básica de derivação para potências (regra do poder). Essa regra diz:
onde
é qualquer número real (inteiro, fracionário ou negativo), desde que estejamos no domínio onde
está definido. Aqui aplicaremos a regra termo a termo, pois a derivada de soma é a soma das derivadas:
Passo 4
Aplicamos a regra do passo anterior aos termos de
.
Derivada do primeiro termo:
Derivada do primeiro termo:
Derivada do segundo termo:
Portanto, somando as derivadas:
Passo 5
Podemos reescrever a forma encontrada de maneira mais explícita em potências positivas no denominador, pois
. Assim:
Se quisermos juntar em uma única fração com denominador
, fazemos:
logo
Ambas as formas acima são equivalentes; mantenha a que achar mais clara na prova.
Passo 6
Resumo e observação final: a derivada foi obtida aplicando a regra do poder a cada termo após simplificar a função. Lembre-se de que todas as expressões são válidas para
devido à presença de
.