Encontre \frac{d y}{d x}.
y=x e^{x}-4

Passo 1

O enunciado dá a função \;y = x e^{x} - 4\; e pede para encontrar \;\frac{dy}{dx}\;.
Informações relevantes que temos:
\;y\; é formada por um produto \;x \cdot e^{x}\; e uma constante subtraída \;-4\;.

Passo 2

Vamos lembrar algumas regras básicas de derivação que usaremos (explicadas devagar, como num rascunho de prova):
Regra 1 — derivada de uma constante: se \;C\; é constante então \;\frac{d}{dx}C = 0\;.
Regra 2 — derivada do exponencial: \;\frac{d}{dx}e^{x} = e^{x}\;. Isto significa que a função exponencial tem a propriedade prática de “se derivar dá ela mesma”.
Regra 3 — regra do produto: se \;u(x)\; e \;v(x)\; são funções, então
\frac{d}{dx}\big(u(x)\,v(x)\big)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui u'(x) significa \frac{du}{dx} e v'(x) significa \frac{dv}{dx}. A ideia é: derivada do primeiro vezes o segundo + primeiro vezes derivada do segundo. Um exemplo rápido e simples: derivando \;x\sin x\; \;1\cdot\sin x + x\cdot\cos x\;.

Passo 3

Identificamos as partes do produto na nossa função:
u(x)=x,\qquad v(x)=e^{x}.
Calculemos as derivadas dessas partes:
u'(x)=\frac{d}{dx}x=1, \qquad v'(x)=\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.

Passo 4

Aplique a regra do produto para \;x e^{x}\;:
\frac{d}{dx}\big(x e^{x}\big)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)=1\cdot e^{x}+x\cdot e^{x}.
Agora a derivada da função completa \;y = x e^{x}-4\; é essa menos a derivada da constante:
\frac{dy}{dx}= \big(e^{x}+x e^{x}\big)-0.
Podemos simplificar fatorando e^{x}:
\frac{dy}{dx}=e^{x}(1+x)=(x+1)e^{x}.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=(x+1)e^{x}

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