8^{a}. Encontre a função aceleração e a função deslocamento se a função velocidade de uma partícula, para um tempo x, é dada por:
v(x)=a+b \cdot \operatorname{sen}(c x+d),

Passo 1

O enunciado nos dá a função velocidade
v(x)=a+b\sin\bigl(cx+d\bigr)
e pede duas coisas:
  1. A função aceleração a(x), que é a derivada de v(x).
  2. A função deslocamento s(x), que é uma antiderivada de v(x).
    Para isso vamos usar a regra da cadeia ao derivar e as fórmulas de integração de funções constantes e de \sin.

Passo 2

Para achar a aceleração definimos
a(x)=\frac{dv}{dx}.
Como a é constante, \frac{d}{dx}[a]=0, e aplicamos a regra da cadeia em b\sin(cx+d):
\frac{d}{dx}\bigl[b\sin(cx+d)\bigr] = b\cos(cx+d)\cdot\frac{d}{dx}(cx+d) = b\cos(cx+d)\cdot c.
Logo, a função aceleração é
a(x)=b\,c\cos\bigl(cx+d\bigr).

Passo 3

Para obter o deslocamento integramos v(x):
s(x)=\int v(x)\,dx =\int\bigl[a+b\sin(cx+d)\bigr]dx =\int a\,dx+\int b\sin(cx+d)\,dx.
A integral de a é ax. Para integrar b\sin(cx+d) usamos
\int\sin(cx+d)\,dx=-\frac{1}{c}\cos(cx+d),
ficando
\int b\sin(cx+d)\,dx =-\frac{b}{c}\cos(cx+d).
Adicionamos ainda a constante de integração C. Assim
s(x)=a\,x-\frac{b}{c}\cos\bigl(cx+d\bigr)+C.

Resposta

Aceleração:
a(x)=b\,c\cos\bigl(cx+d\bigr).
Deslocamento:
s(x)=a\,x-\frac{b}{c}\cos\bigl(cx+d\bigr)+C.

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