(0,4 ponto) Simplifique a expressão abaixo o máximo possível:
\frac{x^{2}-8 x-9}{x^{3}-9 x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar ao máximo a fração algébrica
\frac{x^{2}-8x-9}{x^{3}-9x^{2}}.
O conteúdo envolvido é fatoração de polinômios e simplificação de frações algébricas. Vamos precisar fatorar numerador e denominador e depois cancelar fatores comuns, sempre observando as restrições de domínio x\neq0 e x\neq9.

Passo 2

Fatoramos o numerador x^{2}-8x-9. Procuramos dois números cujo produto seja -9 e cuja soma seja -8. Esses números são -9 e 1. Logo,
x^{2}-8x-9 = (x-9)(x+1).

Passo 3

Fatoramos o denominador x^{3}-9x^{2}. Há fator comum x^{2}, então
x^{3}-9x^{2} = x^{2}(x-9).

Passo 4

Substituindo as fatorações na expressão original, temos
\frac{x^{2}-8x-9}{x^{3}-9x^{2}} = \frac{(x-9)(x+1)}{x^{2}(x-9)}.
Como x\neq9, podemos cancelar o fator (x-9), ficando
\frac{x+1}{x^{2}},
com a condição de que x\neq0 e x\neq9.

Resposta

\frac{x+1}{x^{2}}

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