Encontre uma função cuja derivada é representada pelas funções abaixo:
d) f(x)=\frac{1}{x}

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos uma função F(x) tal que a sua derivada seja
F'(x)=\frac1x.
O conteúdo aqui é integral indefinida (antiderivada) de \tfrac1x. Sabemos que a derivada de \ln\lvert x\rvert é \tfrac1x, então vamos usar essa informação.

Passo 2

Calculamos a integral indefinida:
F(x)=\int \frac1x\,dx.
Como conhecemos que
\frac{d}{dx}\bigl[\ln\lvert x\rvert\bigr]=\frac1x,
temos
F(x)=\ln\lvert x\rvert + C,
onde C é constante de integração.

Resposta

A família de funções cuja derivada é \tfrac1x é
F(x)=\ln\lvert x\rvert + C.

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