Um tronco de pirâmide regular de base hexagonal e volume 126 u.v possui lado da base menor, lado da base maior e altura, nesta ordem, formando uma progressão geométrica de razão natural não nula e termo inicial no intervalo ] 3 / 2,2[. Determine o ângulo formado pela face lateral do tronco e a base maior e assinale a opçăo correta.
(A) \quad \operatorname{arctg}\left(\frac{8 \sqrt{3}}{3}\right)
(B) \quad \operatorname{arctg}(2 \sqrt{3})
(C) \operatorname{arctg}(\sqrt{3})
(D) \operatorname{arctg}\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3}\right)
(E) \operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)

Passo 1

O enunciado fala de um tronco de pirâmide regular de base hexagonal cujo lado da base menor, o lado da base maior e a altura formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão natural r e primeiro termo b_1\in\bigl(\tfrac32,2\bigr). O volume é dado por
V=\frac{h}{3}\bigl(A_1+A_2+\sqrt{A_1A_2}\bigr)
onde A_1 e A_2 são as áreas das bases. Vamos usar essa fórmula e a área do hexágono regular
A=\frac{3\sqrt3}{2}\,s^2
para achar r, b_1 e, em seguida, o ângulo entre a face lateral e a base maior.

Passo 2

Denotando o lado da base menor por b_1, o da base maior por b_2 e a altura por h, a PG diz
b_2=b_1\,r, \quad h=b_2\,r=b_1\,r^2.
As áreas das bases são
A_1=\frac{3\sqrt3}{2}\,b_1^2, \quad A_2=\frac{3\sqrt3}{2}\,b_2^2 =\frac{3\sqrt3}{2}\,b_1^2\,r^2,
e seu produto é
\sqrt{A_1A_2} =\frac{3\sqrt3}{2}\,b_1^2\,r.

Passo 3

Substituindo em
V=\frac{h}{3}\bigl(A_1+A_2+\sqrt{A_1A_2}\bigr)
e usando h=b_1r^2, obtemos
126 =\frac{b_1r^2}{3}\Bigl(\frac{3\sqrt3}{2}b_1^2+\frac{3\sqrt3}{2}b_1^2r^2 +\frac{3\sqrt3}{2}b_1^2r\Bigr) =b_1^3\,\frac{\sqrt3}{2}\,r^2(1+r+r^2).
Testando razões naturais r\ge1, para r=2 temos
126=b_1^3\frac{\sqrt3}{2}\cdot4\cdot7 =14\sqrt3\,b_1^3 \quad\Longrightarrow\quad b_1^3=\frac{126}{14\sqrt3}=\!3\sqrt3 \quad\Longrightarrow\quad b_1=\sqrt3,
que está em \bigl(\tfrac32,2\bigr). Logo r=2.

Passo 4

Com b_1=\sqrt3 e r=2 segue
b_2=b_1r=2\sqrt3, \quad h=b_1r^2=4\sqrt3.

Passo 5

Para um hexágono regular de lado s, a apótema vale \tfrac{\sqrt3}{2}s. Assim, a apótema da base maior é
R_2=\frac{\sqrt3}{2}\,b_2 =\frac{\sqrt3}{2}\,2\sqrt3=3
e da base menor é
R_1=\frac{\sqrt3}{2}\,b_1 =\frac{\sqrt3}{2}\,\sqrt3=\frac32.
Ao traçarmos no plano lateral uma reta que une os pontos médios dos lados das duas bases (essa reta é perpendicular à aresta de interseção das faces), sua projeção horizontal tem comprimento
\Delta R=R_2-R_1=3-\frac32=\frac32,
e sua componente vertical é h=4\sqrt3.

Passo 6

O ângulo \varphi entre a face lateral e a base maior satisfaz
\tan\varphi =\frac{\text{componente vertical}}{\text{componente horizontal}} =\frac{4\sqrt3}{\tfrac32} =\frac{8\sqrt3}{3}.
Logo
\varphi=\operatorname{arctg}\!\Bigl(\frac{8\sqrt3}{3}\Bigr).

Resposta

(A) \displaystyle \operatorname{arctg}\!\Bigl(\frac{8\sqrt3}{3}\Bigr)

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