Um tronco de pirâmide regular de base hexagonal e volume 126 u.v possui lado da base menor, lado da base maior e altura, nesta ordem, formando uma progressão geométrica de razão natural não nula e termo inicial no intervalo
. Determine o ângulo formado pela face lateral do tronco e a base maior e assinale a opçăo correta.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado fala de um tronco de pirâmide regular de base hexagonal cujo lado da base menor, o lado da base maior e a altura formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão natural
e primeiro termo
. O volume é dado por
onde
e
são as áreas das bases. Vamos usar essa fórmula e a área do hexágono regular
para achar
,
e, em seguida, o ângulo entre a face lateral e a base maior.
Passo 2
Denotando o lado da base menor por
, o da base maior por
e a altura por
, a PG diz
As áreas das bases são
e seu produto é
Passo 3
Substituindo em
e usando
, obtemos
Testando razões naturais
, para
temos
que está em
. Logo
.
Passo 4
Com
e
segue
Passo 5
Para um hexágono regular de lado
, a apótema vale
. Assim, a apótema da base maior é
e da base menor é
Ao traçarmos no plano lateral uma reta que une os pontos médios dos lados das duas bases (essa reta é perpendicular à aresta de interseção das faces), sua projeção horizontal tem comprimento
e sua componente vertical é
.
Passo 6
O ângulo
entre a face lateral e a base maior satisfaz
Logo
Resposta
(A)