Encontre a função derivada de:
f(x)=sin (x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=sin(x). O conteúdo envolve diferenciação de funções trigonométricas e vamos usar a definição de derivada além dos limites básicos limhto0sin hh e limhto0cos h-1h.

Passo 2

Pela definição de derivada, temos
f'(x)=limhto0sin(x+h)-sin(x)h

Passo 3

Usando a fórmula de adição de senos, sin(x+h)=sin xcos h+cos xsin h, o numerador fica
sin(x+h)-sin(x)=sin x(cos h-1)+cos xsin h,
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f'(x)=limhto0sin x(cos h-1)+cos xsin hh

Passo 4

Separamos a expressão em duas parcelas e usamos os limites conhecidos:
limhto0cos h-1h=0,
limhto0sin hh=1
Assim,
f'(x)=sin xcdot0+cos xcdot1=cos x

Resposta

f'(x)=cos(x)

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