O enunciado pede para calcular as derivadas parciais \frac{\partial T}{\partial p}, \frac{\partial T}{\partial q} e \frac{\partial T}{\partial t} do escalar
T=\frac{v}{2u+v},
onde
u=pq\sqrt{r},\qquad v=p\sqrt{qr}.
As informações numéricas dadas são p=2, q=1 e r=4. Nota importante: o enunciado pede \frac{\partial T}{\partial t} mas não há variável t nas expressões; presumirei que isto é um erro de digitação e que o pedido correto é \frac{\partial T}{\partial r}. Vou prosseguir com essa suposição.
Passo 2
Vamos aplicar a regra da cadeia. Primeiro tratamos T como função de duas variáveis intermediárias u e v:
T(u,v)=\frac{v}{2u+v}.
Precisamos das derivadas parciais de T em relação a u e v. Usamos a regra do quociente (ou derivação direta, mantendo a outra variável fixa).
Calcule \displaystyle \frac{\partial T}{\partial u}. Diferenciando \displaystyle T=\frac{v}{2u+v} em relação a u (tratando v como constante) obtemos
Explicação rápida da fórmula: se T=\dfrac{N}{D} com N=v e D=2u+v, então \partial T/\partial u = (D\cdot \partial N/\partial u - N\cdot \partial D/\partial u)/D^2. Aqui \partial N/\partial u=0 e \partial D/\partial u=2, daí o resultado.
Agora calcule \displaystyle \frac{\partial T}{\partial v}. Diferenciando em relação a v (mantendo u fixo):
Agora precisamos das derivadas parciais de u e v em relação a p, q e r. Escrevemos as fórmulas de u e v em potências para facilitar:
u=pq r^{1/2},\qquad v=p q^{1/2} r^{1/2}.
Usamos regras básicas: derivada em relação a p trata q,r como constantes; em relação a q trata p,r como constantes; em relação a r usamos a regra da potência \dfrac{d}{dr} r^{1/2}=\tfrac{1}{2}r^{-1/2}.
Resumo dos resultados numéricos finais (e um empurrãozinho: deu zero para \partial T/\partial p e \partial T/\partial r porque, no ponto avaliado, os dois termos na regra da cadeia se cancelaram exatamente — é um daqueles momentos satisfatórios na conta):