Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
Encontre
T=\frac{v}{2 u+v}, u=p q \sqrt{r}, v=p \sqrt{q r}. Encontre
\frac{\partial T}{\partial p}, \frac{\partial T}{\partial q}, \frac{\partial T}{\partial t}
quando p=2, q=1 e r=4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais \frac{\partial T}{\partial p}, \frac{\partial T}{\partial q} e \frac{\partial T}{\partial t} do escalar
T=\frac{v}{2u+v},
onde
u=pq\sqrt{r},\qquad v=p\sqrt{qr}.
As informações numéricas dadas são p=2, q=1 e r=4. Nota importante: o enunciado pede \frac{\partial T}{\partial t} mas não há variável t nas expressões; presumirei que isto é um erro de digitação e que o pedido correto é \frac{\partial T}{\partial r}. Vou prosseguir com essa suposição.

Passo 2

Vamos aplicar a regra da cadeia. Primeiro tratamos T como função de duas variáveis intermediárias u e v:
T(u,v)=\frac{v}{2u+v}.
Precisamos das derivadas parciais de T em relação a u e v. Usamos a regra do quociente (ou derivação direta, mantendo a outra variável fixa).
Calcule \displaystyle \frac{\partial T}{\partial u}. Diferenciando \displaystyle T=\frac{v}{2u+v} em relação a u (tratando v como constante) obtemos
\frac{\partial T}{\partial u} = -\frac{v\cdot 2}{(2u+v)^2} = -\frac{2v}{(2u+v)^2}.
Explicação rápida da fórmula: se T=\dfrac{N}{D} com N=v e D=2u+v, então \partial T/\partial u = (D\cdot \partial N/\partial u - N\cdot \partial D/\partial u)/D^2. Aqui \partial N/\partial u=0 e \partial D/\partial u=2, daí o resultado.
Agora calcule \displaystyle \frac{\partial T}{\partial v}. Diferenciando em relação a v (mantendo u fixo):
\frac{\partial T}{\partial v} = \frac{(2u+v)\cdot 1 - v\cdot 1}{(2u+v)^2} = \frac{2u}{(2u+v)^2}.
Novamente, aplicação direta do quociente.

Passo 3

Agora precisamos das derivadas parciais de u e v em relação a p, q e r. Escrevemos as fórmulas de u e v em potências para facilitar:
u=pq r^{1/2},\qquad v=p q^{1/2} r^{1/2}.
Usamos regras básicas: derivada em relação a p trata q,r como constantes; em relação a q trata p,r como constantes; em relação a r usamos a regra da potência \dfrac{d}{dr} r^{1/2}=\tfrac{1}{2}r^{-1/2}.
Calcule cada uma:
\frac{\partial u}{\partial p} = q r^{1/2},
\frac{\partial u}{\partial q} = p r^{1/2},
\frac{\partial u}{\partial r} = p q\cdot \frac{1}{2} r^{-1/2} = \frac{p q}{2\sqrt{r}}.
E para v:
\frac{\partial v}{\partial p} = q^{1/2} r^{1/2} = \sqrt{qr},
\frac{\partial v}{\partial q} = p\cdot \frac{1}{2} q^{-1/2} r^{1/2} = \frac{p\sqrt{r}}{2\sqrt{q}},
\frac{\partial v}{\partial r} = p q^{1/2}\cdot \frac{1}{2} r^{-1/2} = \frac{p\sqrt{q}}{2\sqrt{r}}.

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia para obter as derivadas parciais desejadas:
\frac{\partial T}{\partial p} = \frac{\partial T}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial p} + \frac{\partial T}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial p},
\frac{\partial T}{\partial q} = \frac{\partial T}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial q} + \frac{\partial T}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial q},
\frac{\partial T}{\partial r} = \frac{\partial T}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial r} + \frac{\partial T}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial r}.
Aqui cada termo já foi obtido nos passos anteriores; agora vamos avaliar tudo no ponto p=2,\;q=1,\;r=4.

Passo 5

Calcule primeiro u e v no ponto dado (usar essas quantidades facilita \partial T/\partial u e \partial T/\partial v):
u(2,1,4)=p q\sqrt{r}=2\cdot 1\cdot \sqrt{4}=2\cdot 2=4,
v(2,1,4)=p\sqrt{qr}=2\sqrt{1\cdot 4}=2\cdot 2=4.
Então u=v=4. Também calcule 2u+v=2\cdot 4+4=12 e (2u+v)^2=144.

Passo 6

Avalie \displaystyle \frac{\partial T}{\partial u} e \displaystyle \frac{\partial T}{\partial v} no ponto:
\left.\frac{\partial T}{\partial u}\right|_{(u=4,v=4)} = -\frac{2v}{(2u+v)^2} = -\frac{2\cdot 4}{144} = -\frac{8}{144} = -\frac{1}{18},
\left.\frac{\partial T}{\partial v}\right|_{(u=4,v=4)} = \frac{2u}{(2u+v)^2} = \frac{2\cdot 4}{144} = \frac{8}{144} = \frac{1}{18}.
Agora avalie as derivadas parciais de u e v em relação a p,q,r no ponto:
\left.\frac{\partial u}{\partial p}\right|_{(2,1,4)} = q\sqrt{r}=1\cdot 2=2,
\left.\frac{\partial v}{\partial p}\right|_{(2,1,4)} = \sqrt{qr}=2.
Logo
\left.\frac{\partial T}{\partial p}\right|_{(2,1,4)} = -\frac{1}{18}\cdot 2 + \frac{1}{18}\cdot 2 = 0.
Para q:
\left.\frac{\partial u}{\partial q}\right|_{(2,1,4)} = p\sqrt{r}=2\cdot 2=4,
\left.\frac{\partial v}{\partial q}\right|_{(2,1,4)} = \frac{p\sqrt{r}}{2\sqrt{q}} = \frac{2\cdot 2}{2\cdot 1}=2.
Então
\left.\frac{\partial T}{\partial q}\right|_{(2,1,4)} = -\frac{1}{18}\cdot 4 + \frac{1}{18}\cdot 2 = \frac{-4+2}{18} = -\frac{2}{18} = -\frac{1}{9}.
Para r:
\left.\frac{\partial u}{\partial r}\right|_{(2,1,4)} = \frac{p q}{2\sqrt{r}} = \frac{2\cdot 1}{2\cdot 2} = \frac{2}{4}=\frac{1}{2},
\left.\frac{\partial v}{\partial r}\right|_{(2,1,4)} = \frac{p\sqrt{q}}{2\sqrt{r}} = \frac{2\cdot 1}{2\cdot 2} = \frac{1}{2}.
Portanto
\left.\frac{\partial T}{\partial r}\right|_{(2,1,4)} = -\frac{1}{18}\cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{18}\cdot \frac{1}{2} = 0.

Passo 7

Resumo dos resultados numéricos finais (e um empurrãozinho: deu zero para \partial T/\partial p e \partial T/\partial r porque, no ponto avaliado, os dois termos na regra da cadeia se cancelaram exatamente — é um daqueles momentos satisfatórios na conta):

Resposta

\displaystyle \frac{\partial T}{\partial p}=0
\displaystyle \frac{\partial T}{\partial q}=-\frac{1}{9}
\displaystyle \frac{\partial T}{\partial r}=0

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