- Encontre a função exponencial na forma
tal que
(b)
e
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a função exponencial na forma
que satisfaz duas condições. As informações dadas são:
-
. -
.
O que precisa ser encontrado: os valores de
e de
(o parâmetro da base) de modo que a função
satisfaça as duas igualdades acima.
Passo 2
Entendendo a forma
. Aqui:
-
é um número real que multiplica a potência; é o valor de quando porque qualquer base elevada a zero vale . -
é a base da exponencial; normalmente exigimos (e se quisermos crescimento ou decaimento não trivial) para que esteja bem definida para todo como número real.
Explicação rápida: para qualquervale , portanto .
Passo 3
Usar a condição
. Substituindo
em
obtemos:
Pelo enunciado
. Logo:
Passo 4
Agora usamos a condição
. Substituindo
e
em
temos:
Pelo enunciado
. Portanto:
Passo 5
Isolando
na equação anterior:
Agora precisamos extrair
. A equação
tem duas raízes reais:
ou
.
Passo 6
Decidir qual raiz é válida. Para a forma
com domínio real precisamos que
(caso contrário
pode não ser real para
não inteiro). Assim descartamos
e ficamos com
Passo 7
Escrever a função encontrada e verificar rapidamente. Substituindo
e
obtemos:
Verificação rápida:
e
. Está correto. Observação alternativa: pode também escrever
, logo
o que é equivalente.