1. Encontre a função exponencial na forma f(x)=C a^{x} tal que
(b) f(0)=4 e f(2)=8

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a função exponencial na forma f(x)=C a^{x} que satisfaz duas condições. As informações dadas são:
  • f(0)=4.
  • f(2)=8.
O que precisa ser encontrado: os valores de C e de a (o parâmetro da base) de modo que a função f(x)=C a^{x} satisfaça as duas igualdades acima.

Passo 2

Entendendo a forma f(x)=C a^{x}. Aqui:
  • C é um número real que multiplica a potência; é o valor de f quando x=0 porque qualquer base elevada a zero vale 1.
  • a é a base da exponencial; normalmente exigimos a>0 (e a\neq 1 se quisermos crescimento ou decaimento não trivial) para que a^{x} esteja bem definida para todo x\in\mathbb{R} como número real.
    Explicação rápida: para qualquer a>0 vale \;a^{0}=1\;, portanto f(0)=C\cdot a^{0}=C\cdot1=C.

Passo 3

Usar a condição f(0)=4. Substituindo x=0 em f(x)=C a^{x} obtemos:
f(0)=C a^{0}=C\cdot 1=C.
Pelo enunciado f(0)=4. Logo:
C=4.

Passo 4

Agora usamos a condição f(2)=8. Substituindo C=4 e x=2 em f(x)=C a^{x} temos:
f(2)=4\cdot a^{2}.
Pelo enunciado f(2)=8. Portanto:
4\cdot a^{2}=8.

Passo 5

Isolando a^{2} na equação anterior:
a^{2}=\frac{8}{4}=2.
Agora precisamos extrair a. A equação a^{2}=2 tem duas raízes reais: a=\sqrt{2} ou a=-\sqrt{2}.

Passo 6

Decidir qual raiz é válida. Para a forma f(x)=C a^{x} com domínio real precisamos que a>0 (caso contrário a^{x} pode não ser real para x não inteiro). Assim descartamos a=-\sqrt{2} e ficamos com
a=\sqrt{2}.

Passo 7

Escrever a função encontrada e verificar rapidamente. Substituindo C=4 e a=\sqrt{2} obtemos:
f(x)=4\bigl(\sqrt{2}\bigr)^{x}.
Verificação rápida: f(0)=4(\sqrt{2})^{0}=4\cdot1=4 e f(2)=4(\sqrt{2})^{2}=4\cdot 2=8. Está correto. Observação alternativa: pode também escrever a=\sqrt{2}=2^{1/2}, logo
f(x)=4\cdot 2^{x/2},
o que é equivalente.

Resposta

f(x)=4\bigl(\sqrt{2}\bigr)^{x}

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