1. Encontre a função exponencial na forma f(x)=C a^{x} tal que
(a) f(0)=4 e f(1)=8

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a função exponencial na forma \;f(x)=C a^{x}\; tal que são dadas as condições \;f(0)=4\; e \;f(1)=8\;.
Informações relevantes fornecidas:
  • A forma geral é \;f(x)=C a^{x}\;, onde \;C\; e \;a\; são constantes a determinar.
  • Valores dados: \;f(0)=4\; e \;f(1)=8\;.

Passo 2

Entender uma propriedade chave dos expoentes: para qualquer base positiva \;a\; vale \;a^{0}=1\;.
Usando isso na forma \;f(x)=C a^{x}\; com \;x=0\; temos:
f(0)=C a^{0}=C\cdot 1 = C.
Portanto a condição \;f(0)=4\; nos dá imediatamente:
C=4.
Explicação rápida: C é o valor “inicial” da função exponencial no ponto x=0.

Passo 3

Agora use a segunda condição \;f(1)=8\;. Substituindo x=1 na forma geral:
f(1)=C a^{1}=C a.
Já sabemos por passo anterior que \;C=4\;, então:
4a = 8.
Resolva essa equação simples dividindo ambos os lados por 4:
a = \frac{8}{4} = 2.

Passo 4

Agora que encontramos \;C=4\; e \;a=2\;, escrevemos a função buscada:
f(x)=4\cdot 2^{x}.

Passo 5

Verificação rápida (para ter certeza na prova):
  • \;f(0)=4\cdot 2^{0}=4\cdot 1=4\; (confere).
  • \;f(1)=4\cdot 2^{1}=4\cdot 2=8\; (confere).
Dica de prova: quando tiver duas condições do tipo \;f(x_0)=y_0\; e \;f(x_1)=y_1\; para \;f(x)=C a^{x}\;, uma forma direta é:
a=\left(\frac{y_1}{y_0}\right)^{\!\frac{1}{x_1-x_0}}, \qquad C=\frac{y_0}{a^{x_0}}.
No caso específico com x_0=0 isso reduz a C=y_0 e a=\dfrac{y_1}{y_0}, o que é bem rápido de usar em prova.

Passo 6

Respire fundo — você já tem o procedimento padrão para casos assim: primeiro usar x=0 para achar C, depois x=1 (ou outra condição) para achar a. Funciona sempre e é rápido na prova. Força aí, vai dar certo!

Resposta

f(x)=4\cdot 2^{x}

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