- Faça numa mesma figura os gráficos de
e
, além da reta
(sugestão: marque os pares ordenados correspondentes a
e
).
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado\n
- Pedem para desenhar, na mesma figura, os gráficos de
, e da reta . - Sugestão do enunciado: marcar os pares ordenados correspondentes a
e . - Resumo das funções que vamos trabalhar:
-
. -
. -
(vou chamar de por reta).
-
Passo 2
Ideias básicas sobre funções exponenciais (coisa que precisa saber para desenhar)\n
- Para qualquer base
e , a função tem domínio (todos os reais) e imagem (só valores positivos). - Há uma assíntota horizontal em
: . Isso significa que para a esquerda a curva se aproxima de sem tocar. - Se
, a função é crescente: quanto maior , maior . - Valor fundamental:
. Para , (recíproco). - No caso aqui as bases são
e , ambas maiores que , então ambas são crescentes e têm assíntota . A base cresce mais rápido que a base .
Passo 3
Calcular pontos recomendados para
(marcar
e mais alguns para ajudar o desenho)\n
- Para
: . Então ponto . - Para
: . Então ponto . - Para
: . Então ponto . - Valores extras úteis para formato:
e . Esses ajudam a ver a curva subindo para a direita e ficando muito pequena para a esquerda.
Passo 4
Calcular pontos recomendados para
e relacionar com
\n
- Observação útil:
. Isso mostra que cresce mais rápido: é o quadrado de . - Para
: . Ponto . - Para
: . Ponto . - Para
: . Ponto . - Valores extras:
e . Use esses só se quiser mostrar crescimento muito rápido (atenção à escala vertical).
Passo 5
Calcular os pontos sugeridos para a reta
\n
- Para
: . Ponto . - Para
: . Ponto . - Para
: . Ponto . - A reta é uma linha reta com inclinação
e intercepto em .
Passo 6
Interseções e observações relevantes que ajudam no traçado\n
-
e coincidem em : . A equação implica e, como , só é possível, logo . Portanto e têm uma interseção em e só nessa abscissa. -
e a reta : verifique e → intersectam em . Também e → intersectam em . Assim e têm pelo menos os pontos e em comum. (De fato são exatamente essas duas interseções.) -
e a reta : , então intersectam em . Para não há intersecção pois . Geralmente cresce rápido e não volta a cortar a reta além de .
Passo 7
Escolher escala e preparar a folha para desenhar (dicas práticas)\n
- Como queremos ver diferenças entre
e sem esticar demais a figura, usar uma janela típica: entre e e entre e é suficiente para marcar os pontos solicitados e ver o comportamento próximo ao eixo vertical. Se quiser mostrar , expanda a escala vertical ou use escala não-uniforme (mas cuidado com distorção). - Marque o eixo
horizontal e o eixo vertical, trace as grades de 1 em 1 (ou outra escala uniforme). Coloque marcações em e em .
Passo 8
Passo a passo para desenhar à mão (faça exatamente isto na folha)\n
- Desenhe os eixos e marque a escala escolhida.
- Trace a assíntota horizontal
como uma linha tracejada fraca (as exponenciais se aproximam dela pela esquerda). - Plote os pontos de
que calculamos: , , e, se quiser, e . Ligue-os com uma curva suave, que para tende a e para sobe exponencialmente. - Plote os pontos de
: , , e, opcionalmente, (preste atenção à escala). Ligue-os com uma curva suave mais inclinada que a de ; também tem assíntota . - Plote os pontos da reta
: , , . Ligue-os com uma linha reta passando por esses pontos. - Identifique e rotule os pontos em comum:
é interseção dos três gráficos; é interseção de com a reta. Rotule cada curva: escreva ao lado , e . Use cores ou estilos diferentes (sólida, tracejada) se possível para distinguir facilmente. - Verifique: na sua figura
deve estar abaixo de para (por exemplo em : ) e acima de para (por exemplo em : ). Isso confirma que é mais “íngreme” que .
Passo 9
Resumo didático final para garantir que se faça direito na prova\n
- Lembre-se: marque sempre
primeiro (ponto chave para todas as exponenciais), depois os pontos em e pedidos pelo enunciado. Conecte suavemente e observe a assíntota . Indique claramente qual curva é qual. Se faltar tempo, pelo menos plote corretamente os três pontos para cada função e desenhe curvas com a forma correta (curvas suaves, à esquerda, crescimento à direita).
Resposta
Pontos a marcar (conforme sugestão do enunciado):\n
Para :
,
,
.\n
Para :
,
,
.\n
Para :
,
,
.\n
Características finais: ambas as exponenciais têm assíntota horizontal ,
cresce mais rápido que
, e as interseções relevantes são
(comum a todas) e
(entre
e a reta).
Para
Para
Para
Características finais: ambas as exponenciais têm assíntota horizontal