1. Faça numa mesma figura os gráficos de f(x)=2^{x} e g(x)=4^{x}, além da reta y=x+1 (sugestão: marque os pares ordenados correspondentes a x=-1, x=0 e x=1 ).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado\n
  • Pedem para desenhar, na mesma figura, os gráficos de f(x)=2^{x}, g(x)=4^{x} e da reta y=x+1.
  • Sugestão do enunciado: marcar os pares ordenados correspondentes a x=-1,\;x=0 e x=1.
  • Resumo das funções que vamos trabalhar:
    • f(x)=2^{x}.
    • g(x)=4^{x}.
    • r(x)=x+1 (vou chamar de r por reta).

Passo 2

Ideias básicas sobre funções exponenciais (coisa que precisa saber para desenhar)\n
  • Para qualquer base a>0 e a\neq1, a função x\mapsto a^{x} tem domínio \mathbb{R} (todos os reais) e imagem (0,\infty) (só valores positivos).
  • Há uma assíntota horizontal em y=0: \lim_{x\to -\infty} a^{x}=0. Isso significa que para a esquerda a curva se aproxima de y=0 sem tocar.
  • Se a>1, a função é crescente: quanto maior x, maior a^{x}.
  • Valor fundamental: a^{0}=1. Para x<0, a^{x}=1/a^{-x} (recíproco).
  • No caso aqui as bases são 2 e 4, ambas maiores que 1, então ambas são crescentes e têm assíntota y=0. A base 4 cresce mais rápido que a base 2.

Passo 3

Calcular pontos recomendados para f(x)=2^{x} (marcar x=-1,0,1 e mais alguns para ajudar o desenho)\n
  • Para x=-1: f(-1)=2^{-1}=\dfrac{1}{2}. Então ponto \bigl(-1,\tfrac{1}{2}\bigr).
  • Para x=0: f(0)=2^{0}=1. Então ponto (0,1).
  • Para x=1: f(1)=2^{1}=2. Então ponto (1,2).
  • Valores extras úteis para formato: f(2)=2^{2}=4 e f(-2)=2^{-2}=\tfrac{1}{4}. Esses ajudam a ver a curva subindo para a direita e ficando muito pequena para a esquerda.

Passo 4

Calcular pontos recomendados para g(x)=4^{x} e relacionar com f\n
  • Observação útil: 4^{x}=(2^{2})^{x}=2^{2x}=\bigl(2^{x}\bigr)^{2}. Isso mostra que g cresce mais rápido: g(x) é o quadrado de f(x).
  • Para x=-1: g(-1)=4^{-1}=\dfrac{1}{4}. Ponto \bigl(-1,\tfrac{1}{4}\bigr).
  • Para x=0: g(0)=4^{0}=1. Ponto (0,1).
  • Para x=1: g(1)=4^{1}=4. Ponto (1,4).
  • Valores extras: g(2)=4^{2}=16 e g(-2)=4^{-2}=\tfrac{1}{16}. Use esses só se quiser mostrar crescimento muito rápido (atenção à escala vertical).

Passo 5

Calcular os pontos sugeridos para a reta r(x)=x+1\n
  • Para x=-1: r(-1)=-1+1=0. Ponto (-1,0).
  • Para x=0: r(0)=0+1=1. Ponto (0,1).
  • Para x=1: r(1)=1+1=2. Ponto (1,2).
  • A reta é uma linha reta com inclinação 1 e intercepto em y=1.

Passo 6

Interseções e observações relevantes que ajudam no traçado\n
  • f e g coincidem em x=0: 2^{0}=4^{0}=1. A equação 2^{x}=4^{x} implica 2^{x}(1-2^{x})=0 e, como 2^{x}>0, só 2^{x}=1 é possível, logo x=0. Portanto f e g têm uma interseção em (0,1) e só nessa abscissa.
  • f e a reta r: verifique 2^{0}=1 e r(0)=1 → intersectam em (0,1). Também 2^{1}=2 e r(1)=2 → intersectam em (1,2). Assim f e r têm pelo menos os pontos (0,1) e (1,2) em comum. (De fato são exatamente essas duas interseções.)
  • g e a reta r: g(0)=1=r(0), então intersectam em (0,1). Para x=1 não há intersecção pois g(1)=4\neq2. Geralmente 4^{x} cresce rápido e não volta a cortar a reta além de (0,1).

Passo 7

Escolher escala e preparar a folha para desenhar (dicas práticas)\n
  • Como queremos ver diferenças entre f e g sem esticar demais a figura, usar uma janela típica: x entre -2 e 2 e y entre 0 e 5 é suficiente para marcar os pontos solicitados e ver o comportamento próximo ao eixo vertical. Se quiser mostrar g(2)=16, expanda a escala vertical ou use escala não-uniforme (mas cuidado com distorção).
  • Marque o eixo x horizontal e o eixo y vertical, trace as grades de 1 em 1 (ou outra escala uniforme). Coloque marcações em x=-2,-1,0,1,2 e em y=0,1,2,3,4,5.

Passo 8

Passo a passo para desenhar à mão (faça exatamente isto na folha)\n
  1. Desenhe os eixos e marque a escala escolhida.
  2. Trace a assíntota horizontal y=0 como uma linha tracejada fraca (as exponenciais se aproximam dela pela esquerda).
  3. Plote os pontos de f(x)=2^{x} que calculamos: \bigl(-1,\tfrac{1}{2}\bigr), (0,1), (1,2) e, se quiser, (2,4) e (-2,\tfrac{1}{4}). Ligue-os com uma curva suave, que para x\to -\infty tende a y=0 e para x\to+\infty sobe exponencialmente.
  4. Plote os pontos de g(x)=4^{x}: \bigl(-1,\tfrac{1}{4}\bigr), (0,1), (1,4) e, opcionalmente, (2,16) (preste atenção à escala). Ligue-os com uma curva suave mais inclinada que a de f; também tem assíntota y=0.
  5. Plote os pontos da reta r(x)=x+1: (-1,0), (0,1), (1,2). Ligue-os com uma linha reta passando por esses pontos.
  6. Identifique e rotule os pontos em comum: (0,1) é interseção dos três gráficos; (1,2) é interseção de f com a reta. Rotule cada curva: escreva ao lado f(x)=2^{x}, g(x)=4^{x} e y=x+1. Use cores ou estilos diferentes (sólida, tracejada) se possível para distinguir facilmente.
  7. Verifique: na sua figura g deve estar abaixo de f para x<0 (por exemplo em -1: \tfrac{1}{4}<\tfrac{1}{2}) e acima de f para x>0 (por exemplo em 1: 4>2). Isso confirma que g é mais “íngreme” que f.

Passo 9

Resumo didático final para garantir que se faça direito na prova\n
  • Lembre-se: marque sempre (0,1) primeiro (ponto chave para todas as exponenciais), depois os pontos em -1 e 1 pedidos pelo enunciado. Conecte suavemente e observe a assíntota y=0. Indique claramente qual curva é qual. Se faltar tempo, pelo menos plote corretamente os três pontos para cada função e desenhe curvas com a forma correta (curvas suaves, y=0 à esquerda, crescimento à direita).

Resposta

Pontos a marcar (conforme sugestão do enunciado):\n
Para f(x)=2^{x}: \bigl(-1,\tfrac{1}{2}\bigr), (0,1), (1,2).\n
Para g(x)=4^{x}: \bigl(-1,\tfrac{1}{4}\bigr), (0,1), (1,4).\n
Para y=x+1: (-1,0), (0,1), (1,2).\n
Características finais: ambas as exponenciais têm assíntota horizontal y=0, g(x) cresce mais rápido que f(x), e as interseções relevantes são (0,1) (comum a todas) e (1,2) (entre f e a reta).

Exercícios relacionados