Encontre uma função f e um inteiro positivo n tal que lim x 0 f(x) existe, mas não existe.

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos achar uma função f e um inteiro positivo n tais que o limite limxto0f(x^n) exista, mas limxto0f(x) não exista. O conteúdo envolve limites laterais e funções definidas por partes.

Passo 2

Escolha de n e definição de f: vamos tomar n=2 (número par) e definir f por:
f(x)=0,&x>=0,sinl(1/xr),&x<0
Essa definição usa função por partes e sabe-se que sin(1/x) oscila quando xto0^-.

Passo 3

Cálculo de limxto0f(x^2): para qualquer x suficientemente próximo de zero, x^2>=0, então
f(x^2)=0
Assim, para toda sequência xto0, f(x^2)=0 e
limxto0f(x^2)=0

Passo 4

Análise de limxto0f(x): precisamos ver limite das duas direções.
  • Para xto0^+, f(x)=0, logo o limite à direita é 0.
  • Para xto0^-, f(x)=sin(1/x), mas sin(1/x) não tem limite quando xto0^- (oscila entre -1 e 1). Portanto o limite global limxto0f(x) não existe.

Passo 5

Conclusão: escolhemos n=2 e a função definida por partes acima; com isso limxto0f(x^2)=0 existe, mas limxto0f(x) não existe.

Resposta

Uma escolha é n=2 e
f(x)=0,&x>=0,sinl(1/xr),&x<0,
pois então limxto0f(x^2)=0 existe, mas limxto0f(x) não existe.

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