Encontre uma função
e um inteiro positivo
tal que
existe, mas
não existe.
Passo 1
Resumo do enunciado: precisamos achar uma função
e um inteiro positivo
tais que o limite
exista, mas
não exista. O conteúdo envolve limites laterais e funções definidas por partes.
Passo 2
Escolha de
e definição de
: vamos tomar
(número par) e definir
por:
Essa definição usa função por partes e sabe-se que
oscila quando
.
Passo 3
Cálculo de
: para qualquer
suficientemente próximo de zero,
, então
Assim, para toda sequência
,
e
Passo 4
Análise de
: precisamos ver limite das duas direções.
- Para
, , logo o limite à direita é 0. - Para
, , mas não tem limite quando (oscila entre e ). Portanto o limite global não existe.
Passo 5
Conclusão: escolhemos
e a função definida por partes acima; com isso
existe, mas
não existe.
Resposta
Uma escolha é
e
pois então
existe, mas
não existe.