Nos Problemas 11-14, calcule as integrais de linha integralC G(x, y) d x, integralC G(x, y) d y e integralC G(x, y) d s na curva C indian
G(x, y)=3 x^2+6 y^2 ; y=2 x+1,-1 <= x <= 0

Passo 1

O enunciado pede para calcular as integrais de linha integralC G(x,y),dx, integralC G(x,y),dy e integralC G(x,y),ds para a função G(x,y)=3x^2+6y^2 ao longo da curva definida por y=2x+1, com -1<= x<=0. O conteúdo é integrais de linha, e vamos precisar parametrizar a curva, obter dx, dy e ds, além de substituir na função e integrar.

Passo 2

Parametrizamos a curva usando t=x como parâmetro, de modo que
r(t)=(x,y)=(t,,2t+1), -1<= t<=0Dessa parametrização vem
dx=dt, dy=2,dt, ds=raiz(dx)^2+(dy)^2=raiz1+4,dt=raiz5,dt

Passo 3

Substituímos em G para escrevê-la em função de t:
G(t)=3t^2+6(2t+1)^2=3t^2+6(4t^2+4t+1)=27t^2+24t+6

Passo 4

Agora calculamos as duas primeiras integrais:
integralC G(x,y),dx=integral-1^0 G(t),dt=integral-1^0(27t^2+24t+6),dt=[9t^3+12t^2+6t]-1^0=3, integralC G(x,y),dy=integral-1^0 G(t),2,dt=2integral-1^0 G(t),dt=2cdot3=6

Passo 5

Por fim, a integral com ds fica:
integralC G(x,y),ds=integral-1^0 G(t),raiz5,dt=raiz5integral-1^0 G(t),dt=3raiz5

Resposta

integralC G(x,y),dx = 3, integralC G(x,y),dy = 6 e integralC G(x,y),ds = 3raiz5.

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