Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, justificando sua resposta:
sumn=1^infty 1n^1+1 / n

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos decidir se a série
sumn=1^infty 1n^1+1/n
é convergente ou divergente. O conteúdo principal é testes de séries numéricas e vamos usar o Teste da Comparação Limite, comparando com a série harmônica.

Passo 2

Análise do termo geral: escrevemos
1n^1+1/n=1ncdot n^1/n
Como bem sabemos, n^1/nto1 quando ntoinfty. Isso mostra que, para n grande, o fator n^1/n fica muito próximo de 1, de modo que
1n^1+1/nsim1n

Passo 3

Aplicação do Teste da Comparação Limite: seja an=1/n^1+1/n e bn=1/n. Calculamos
limntoinftyanbn=limntoinfty1/n^1+1/n1/n=limntoinftynn^1+1/n=limntoinfty1n^1/n=1
Como esse limite é um número finito e não nulo, as séries sum an e sum bn têm o mesmo comportamento. Sabendo que sum bn=sum1/n (série harmônica) é divergente, concluímos que sum an também diverge.

Resposta

A série diverge.

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