Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, justificando sua resposta:

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série sumn=1^inftyl(1+tfrac1nr)^2012e^-n/3 é convergente ou divergente. O conteúdo principal é teste de convergência de séries numéricas, e vamos usar o teste da raiz para isso.

Passo 2

O teste da raiz diz que, para an positivos, se L=limsupntoinftyraiz[n]an, então a série sum an converge se L<1, diverge se L>1 e é inconclusivo se L=1.

Passo 3

Aqui temos an=l(1+tfrac1nr)^2012e^-n/3 Vamos calcular a n-ésima raiz:
raiz[n]an=raiz[n]l(1+tfrac1nr)^2012,raiz[n]e^-n/3=l(1+tfrac1nr)^2012/n,e^-1/3

Passo 4

Para ntoinfty, note que l(1+tfrac1nr)^2012/n=expl((2012/n)ln(1+1/n)r) e como ln(1+1/n)sim1/n, o expoente (2012/n)ln(1+1/n)to0. Logo essa parte tende a e^0=1.

Passo 5

Assim o limite do teste da raiz é L=1cdot e^-1/3=e^-1/3<1 Pelo teste da raiz, a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Passo 6

Concluímos que a série dada é convergente.

Resposta

A série converge.

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