Encontre uma função f e um número a tais que
lim h 0 (2+h)^6-64h=f^prime(a)

Passo 1

Então, vamos lá! Temos um limite que precisa ser resolvido para encontrar uma função lim h 0 (2+h)^6-64h=f^prime(a) e um número . O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com o conceito de derivada e limites. Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada e algumas propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da definição de derivada de uma função f^prime(a) = limh 0 f(a+h) - f(a)h em um ponto lim h 0 (2+h)^6-64h=f^prime(a) :
Comparando isso com o nosso limite dado:
Podemos identificar que:

Passo 3

Agora, vamos descobrir qual é a função f(x) = x^6 . Sabemos que e que . Vamos considerar que , pois é o valor que está sendo somado a .
Portanto, a função deve ser:

Passo 4

Com a função definida, vamos encontrar a derivada f^prime(x) = 6x^5 . Usando a regra do poder, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular f^prime(2) = 6 times (2)^5 = 6 times 32 = 192 com :

Resposta

A função é e o número é . Assim, .

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