Seja f(x) uma função derivável. Se f(x) + (f(x))^3 = 10 x e f(1) = 2, calcule f'(1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente tem uma função derivável que satisfaz a equação e sabe que . Nosso objetivo é encontrar a derivada dessa função no ponto , ou seja, . Para isso, vamos usar a derivação implícita, que é uma técnica para derivar equações onde a função está misturada com outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembrando que a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e que para derivar vamos usar a regra da cadeia.

Passo 3

Aplicando a derivada:
Isso fica:
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar , que resulta em .

Passo 4

Agora, vamos fatorar da expressão:
Assim, para isolar , dividimos ambos os lados por :

Passo 5

Finalmente, vamos calcular . Sabemos que , então substituímos na expressão que encontramos:

Resposta

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