Seja
uma função derivável. Se
e
, calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente tem uma função derivável
que satisfaz a equação
e sabe que
. Nosso objetivo é encontrar a derivada dessa função no ponto
, ou seja,
. Para isso, vamos usar a derivação implícita, que é uma técnica para derivar equações onde a função está misturada com outras funções.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação
em relação a
. Lembrando que a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e que para derivar
vamos usar a regra da cadeia.
Passo 3
Aplicando a derivada:
Isso fica:
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar
, que resulta em
.
Passo 4
Agora, vamos fatorar
da expressão:
Assim, para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Passo 5
Finalmente, vamos calcular
. Sabemos que
, então substituímos na expressão que encontramos: