Encontre a função polinomial
que interpole os pontos tabelados a seguir, sendo ela da maior ordem possível. Já as letras (c) e (d) devem ser interpoladas utilizando-se a Forma de Lagrange.
x
-2
0
3
-5
2
4
| x | -2 | 0 | 3 |
|
|
-5 | 2 | 4 |
Passo 1
O enunciado fornece três pontos tabelados que a função polinomial
deve interpolar:
- Pontos:
. - Valores:
.
O que se pede: encontrar um polinômio que passe por esses três pontos e que tenha a maior ordem possível (ou seja, de grau máximo compatível com os pontos). Não há mais pontos repetidos em
, então podemos procurar o polinômio de grau mais alto possível usando exatamente esses três pares; com três pontos distintos existe um único polinômio de grau no máximo
que interpola todos eles. Vou construir esse polinômio usando a Forma de Lagrange, explicando cada passo com calma.
Passo 2
Breve aula sobre a Forma de Lagrange (passo-a-passo e sem jargões):
- Se temos três pontos com abscissas distintas
e valores , o polinômio interpolador de grau no máximo é dado por
onde cada
é o polinômio base de Lagrange que vale
em
e
nos outros
(
).
- A fórmula de cada base é
Isto garante que
(é
se
e
se
), então a soma acima reproduz exatamente os valores
nos pontos dados.
- No nosso caso, tomo as abscissas na ordem
e os correspondentes . Vou calcular explicitamente.
Passo 3
Calcular
para
:
Agora simplifico passo a passo:
Multiplicando:
Passo 4
Calcular
para
:
Simplificando:
Multiplicando:
Passo 5
Calcular
para
:
Simplificando:
Multiplicando:
Passo 6
Agora monto o polinômio interpolador pela soma ponderada:
Substituindo as expressões que encontramos:
Simplifico cada termo:
Passo 7
Vou expandir e somar os termos para obter a forma polinomial padrão (coeficientes somados com cuidado em frações):
Expansões individuais:
Expansões individuais:
Somando coeficientes de
, de
e termos constantes:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
- Termo constante:
Portanto o polinômio fica
Passo 8
Verificação rápida (para ganhar confiança — sempre faça isso na prova):
-
(claro, pois os termos com somem). -
. -
.
Confere com todos os pontos dados, logo está correto. Como são três pontos com abscissas distintas, o polinômio de grau no máximoque encontramos é único — é o polinômio interpolador de maior ordem possível dado apenas esses pontos.