Encontre a função polinomial p_{n}(x) que interpole os pontos tabelados a seguir, sendo ela da maior ordem possível. Já as letras (c) e (d) devem ser interpoladas utilizando-se a Forma de Lagrange.
x -2 0 3
f(x) -5 2 4

Passo 1

O enunciado fornece três pontos tabelados que a função polinomial p_n(x) deve interpolar:
  • Pontos: x=-2,\;0,\;3.
  • Valores: f(-2)=-5,\; f(0)=2,\; f(3)=4.
O que se pede: encontrar um polinômio que passe por esses três pontos e que tenha a maior ordem possível (ou seja, de grau máximo compatível com os pontos). Não há mais pontos repetidos em x, então podemos procurar o polinômio de grau mais alto possível usando exatamente esses três pares; com três pontos distintos existe um único polinômio de grau no máximo 2 que interpola todos eles. Vou construir esse polinômio usando a Forma de Lagrange, explicando cada passo com calma.

Passo 2

Breve aula sobre a Forma de Lagrange (passo-a-passo e sem jargões):
  • Se temos três pontos com abscissas distintas x_0,x_1,x_2 e valores y_0,y_1,y_2, o polinômio interpolador de grau no máximo 2 é dado por
p_2(x)=y_0 L_0(x)+y_1 L_1(x)+y_2 L_2(x),
onde cada L_i(x) é o polinômio base de Lagrange que vale 1 em x_i e 0 nos outros x_j ( j\neq i).
  • A fórmula de cada base é
L_i(x)=\prod_{\substack{j=0\\\ j\neq i}}^{2}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
Isto garante que L_i(x_j)=\delta_{ij} 1 se i=j e 0 se i\neq j), então a soma acima reproduz exatamente os valores y_i nos pontos dados.
  • No nosso caso, tomo as abscissas na ordem x_0=-2,\;x_1=0,\;x_2=3 e os correspondentes y_0=-5,\;y_1=2,\;y_2=4. Vou calcular L_0,L_1,L_2 explicitamente.

Passo 3

Calcular L_0(x) para x_0=-2:
L_0(x)=\frac{x-x_1}{x_0-x_1}\cdot\frac{x-x_2}{x_0-x_2} =\frac{x-0}{-2-0}\cdot\frac{x-3}{-2-3}.
Agora simplifico passo a passo:
\frac{x-0}{-2}=\frac{x}{-2}=-\frac{x}{2},\qquad \frac{x-3}{-5}=-\frac{x-3}{5}.
Multiplicando:
L_0(x)=\left(-\frac{x}{2}\right)\left(-\frac{x-3}{5}\right)=\frac{x(x-3)}{10}.

Passo 4

Calcular L_1(x) para x_1=0:
L_1(x)=\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\cdot\frac{x-x_2}{x_1-x_2} =\frac{x-(-2)}{0-(-2)}\cdot\frac{x-3}{0-3}.
Simplificando:
\frac{x+2}{2}\quad\text{e}\quad\frac{x-3}{-3}=-\frac{x-3}{3}.
Multiplicando:
L_1(x)=\frac{x+2}{2}\cdot\left(-\frac{x-3}{3}\right)=-\frac{(x+2)(x-3)}{6}.

Passo 5

Calcular L_2(x) para x_2=3:
L_2(x)=\frac{x-x_0}{x_2-x_0}\cdot\frac{x-x_1}{x_2-x_1} =\frac{x-(-2)}{3-(-2)}\cdot\frac{x-0}{3-0}.
Simplificando:
\frac{x+2}{5}\quad\text{e}\quad\frac{x}{3}.
Multiplicando:
L_2(x)=\frac{x+2}{5}\cdot\frac{x}{3}=\frac{x(x+2)}{15}.

Passo 6

Agora monto o polinômio interpolador pela soma ponderada:
p_2(x)=y_0 L_0(x)+y_1 L_1(x)+y_2 L_2(x) =-5\cdot L_0(x)+2\cdot L_1(x)+4\cdot L_2(x).
Substituindo as expressões que encontramos:
p_2(x)=-5\cdot\frac{x(x-3)}{10}+2\cdot\left(-\frac{(x+2)(x-3)}{6}\right)+4\cdot\frac{x(x+2)}{15}.
Simplifico cada termo:
-5\cdot\frac{x(x-3)}{10}=-\frac{1}{2}x(x-3),
2\cdot\left(-\frac{(x+2)(x-3)}{6}\right)=-\frac{(x+2)(x-3)}{3},
4\cdot\frac{x(x+2)}{15}=\frac{4}{15}x(x+2).

Passo 7

Vou expandir e somar os termos para obter a forma polinomial padrão (coeficientes somados com cuidado em frações):
Expansões individuais:
-\frac{1}{2}x(x-3)=-\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{2}x,
-\frac{(x+2)(x-3)}{3}=-\frac{x^2-x-6}{3}=-\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{3}x+2,
\frac{4}{15}x(x+2)=\frac{4}{15}x^2+\frac{8}{15}x.
Somando coeficientes de x^2, de x e termos constantes:
  • Coeficiente de x^2:
-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{4}{15}= -\frac{15}{30}-\frac{10}{30}+\frac{8}{30}=-\frac{17}{30}.
  • Coeficiente de x:
\frac{3}{2}+\frac{1}{3}+\frac{8}{15}= \frac{45}{30}+\frac{10}{30}+\frac{16}{30}=\frac{71}{30}.
  • Termo constante:
0+2+0=2.
Portanto o polinômio fica
p_2(x)=-\frac{17}{30}x^2+\frac{71}{30}x+2.

Passo 8

Verificação rápida (para ganhar confiança — sempre faça isso na prova):
  • p_2(0)=2 (claro, pois os termos com x somem).
  • p_2(-2)=-\dfrac{17}{30}\cdot4+\dfrac{71}{30}\cdot(-2)+2=-\dfrac{68}{30}-\dfrac{142}{30}+2=-7+2=-5.
  • p_2(3)=-\dfrac{17}{30}\cdot9+\dfrac{71}{30}\cdot3+2=-\dfrac{153}{30}+\dfrac{213}{30}+2=2+2=4.
    Confere com todos os pontos dados, logo está correto. Como são três pontos com abscissas distintas, o polinômio de grau no máximo 2 que encontramos é único — é o polinômio interpolador de maior ordem possível dado apenas esses pontos.

Resposta

p_2(x)=-\frac{17}{30}x^2+\frac{71}{30}x+2

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