Encontre a função polinomial
que interpole os pontos tabelados a seguir, sendo ela da maior ordem possível. As letras (a) e (b) devem ser interpoladas utilizando-se a solução convencional de sistemas lineares (e.g. pelo Método de Eliminação de Gauss).
x
-2
1
2
7
4
1
| x | -2 | 1 | 2 |
|
|
7 | 4 | 1 |
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a função polinomial
que interpole os pontos dados, sendo ela da maior ordem possível. Os pontos tabelados são:
As perguntas implícitas: qual é o grau máximo do polinômio que podemos obter com esses pontos; e qual é explicitamente o polinômio
que passa por esses três pontos.
Passo 2
Quantos coeficientes precisamos e qual o grau máximo possível?
- Com
pontos distintos podemos determinar, no máximo, um polinômio de grau (ou seja, quadrático). Explicando: um polinômio de grau tem coeficientes livres. Para interpolar pontos precisamos de coeficientes, logo o grau máximo possível é . - Portanto vamos procurar
da forma
com
reais a determinar.
Passo 3
Montar o sistema linear a partir das condições de interpolação (substituir cada ponto em
).
- Para
, dá
- Para
, dá
- Para
, dá
Escrevendo na forma de matriz aumentada (coeficientes à esquerda, termos constantes à direita):
]
Passo 4
Explicar o método de Eliminação de Gauss (de forma simples) antes de aplicar:
- Objetivo: usar operações elementares nas linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) para transformar a matriz aumentada num sistema em forma triangular superior (zeros abaixo da diagonal principal).
- Depois fazemos substituição regressiva (back-substitution) para encontrar os incógnitas
. - Vou aplicar cada operação explicitamente e mostrar os resultados numéricos.
Passo 5
Aplicar Eliminação de Gauss passo a passo.
Começo trocando a primeira e a segunda linha para ter pivot
na primeira linha (facilita as contas):
Zerar os elementos abaixo do pivot da primeira coluna:
- Fazer
:
- Fazer
:
A matriz fica:
Agora simplifico a segunda linha para trabalhar com números menores: divido
por
(ou seja,
):
A matriz passa a ser
Zerar o elemento abaixo do pivot da segunda coluna (na linha 3): faço
:
Agora a matriz está em forma triangular superior:
]
Passo 6
Substituição regressiva (resolver a partir da última equação):
- Da terceira linha:
. Logo
- Da segunda linha:
. Substituindo :
- Da primeira linha:
. Substituindo e :
Portanto os coeficientes são
Passo 7
Escrever o polinômio final e verificar rapidamente (checagem):
O polinômio interpolador de grau
é
Verificação rápida nos pontos:
-
. -
. -
.
Confere com os três pontos, portanto está correto.
Passo 8
Comentário final curto e incentivador:
- A solução é única entre polinômios de grau menor ou igual a
porque os -valores são distintos (o sistema tem matriz tipo Vandermonde invertível). - Boa: você montou o sistema e aplicou Gauss corretamente — é exatamente o procedimento que se pede em provas quando pedem “usar eliminação de Gauss”.