Encontre a função polinomial p_{n}(x) que interpole os pontos tabelados a seguir, sendo ela da maior ordem possível. As letras (a) e (b) devem ser interpoladas utilizando-se a solução convencional de sistemas lineares (e.g. pelo Método de Eliminação de Gauss).
x -2 1 2
f(x) 7 4 1

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a função polinomial p_{n}(x) que interpole os pontos dados, sendo ela da maior ordem possível. Os pontos tabelados são:
  • \bigl(-2,\,7\bigr)
  • \bigl(1,\,4\bigr)
  • \bigl(2,\,1\bigr)
As perguntas implícitas: qual é o grau máximo do polinômio que podemos obter com esses pontos; e qual é explicitamente o polinômio p_n(x) que passa por esses três pontos.

Passo 2

Quantos coeficientes precisamos e qual o grau máximo possível?
  • Com 3 pontos distintos podemos determinar, no máximo, um polinômio de grau \,2 (ou seja, quadrático). Explicando: um polinômio de grau m tem m+1 coeficientes livres. Para interpolar 3 pontos precisamos de 3 coeficientes, logo o grau máximo possível é m=2.
  • Portanto vamos procurar p_2(x) da forma
p_2(x)=a x^{2}+b x + c,
com a,b,c reais a determinar.

Passo 3

Montar o sistema linear a partir das condições de interpolação (substituir cada ponto em p_2).
  • Para x=-2, p_2(-2)=7
4a -2b + c = 7.
  • Para x=1, p_2(1)=4
a + b + c = 4.
  • Para x=2, p_2(2)=1
4a + 2b + c = 1.
Escrevendo na forma de matriz aumentada (coeficientes à esquerda, termos constantes à direita):
\begin{pmatrix} 4 & -2 & 1 & \vline & 7\\[4pt] 1 & 1 & 1 & \vline & 4\\[4pt] 4 & 2 & 1 & \vline & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Explicar o método de Eliminação de Gauss (de forma simples) antes de aplicar:
  • Objetivo: usar operações elementares nas linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) para transformar a matriz aumentada num sistema em forma triangular superior (zeros abaixo da diagonal principal).
  • Depois fazemos substituição regressiva (back-substitution) para encontrar os incógnitas a,b,c.
  • Vou aplicar cada operação explicitamente e mostrar os resultados numéricos.

Passo 5

Aplicar Eliminação de Gauss passo a passo.
Começo trocando a primeira e a segunda linha para ter pivot 1 na primeira linha (facilita as contas):
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \vline & 4\\[4pt] 4 & -2 & 1 & \vline & 7\\[4pt] 4 & 2 & 1 & \vline & 1 \end{pmatrix}.
Zerar os elementos abaixo do pivot da primeira coluna:
  • Fazer R_2 := R_2 - 4R_1:
R_2: \\ (4,-2,1\,|\,7) - 4(1,1,1\,|\,4) = (0,-6,-3\,|\, -9).
  • Fazer R_3 := R_3 - 4R_1:
R_3: \\ (4,2,1\,|\,1) - 4(1,1,1\,|\,4) = (0,-2,-3\,|\, -15).
A matriz fica:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \vline & 4\\[4pt] 0 & -6 & -3 & \vline & -9\\[4pt] 0 & -2 & -3 & \vline & -15 \end{pmatrix}.
Agora simplifico a segunda linha para trabalhar com números menores: divido R_2 por -3 (ou seja, R_2 := \tfrac{1}{-3}R_2):
R_2 = (0,2,1\,|\,3).
A matriz passa a ser
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \vline & 4\\[4pt] 0 & 2 & 1 & \vline & 3\\[4pt] 0 & -2 & -3 & \vline & -15 \end{pmatrix}.
Zerar o elemento abaixo do pivot da segunda coluna (na linha 3): faço R_3 := R_3 + R_2:
R_3: \\ (0,-2,-3\,|\, -15) + (0,2,1\,|\,3) = (0,0,-2\,|\, -12).
Agora a matriz está em forma triangular superior:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \vline & 4\\[4pt] 0 & 2 & 1 & \vline & 3\\[4pt] 0 & 0 & -2 & \vline & -12 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Substituição regressiva (resolver a partir da última equação):
  • Da terceira linha: -2 c = -12. Logo
c = \frac{-12}{-2} = 6.
  • Da segunda linha: 2 b + 1 c = 3. Substituindo c=6:
2 b + 6 = 3 \quad\Rightarrow\quad 2 b = -3 \quad\Rightarrow\quad b = -\frac{3}{2}.
  • Da primeira linha: a + b + c = 4. Substituindo b=-\tfrac{3}{2} e c=6:
a -\frac{3}{2} + 6 = 4 \quad\Rightarrow\quad a + \frac{9}{2} = 4 \quad\Rightarrow\quad a = 4 - \frac{9}{2} = -\frac{1}{2}.
Portanto os coeficientes são
a=-\tfrac{1}{2},\qquad b=-\tfrac{3}{2},\qquad c=6.

Passo 7

Escrever o polinômio final e verificar rapidamente (checagem):
O polinômio interpolador de grau 2 é
p_2(x)=-\tfrac{1}{2}x^{2}-\tfrac{3}{2}x + 6.
Verificação rápida nos pontos:
  • p_2(-2)= -\tfrac{1}{2}\cdot 4 -\tfrac{3}{2}\cdot(-2)+6 = -2 +3 +6 = 7.
  • p_2(1)= -\tfrac{1}{2} -\tfrac{3}{2} + 6 = -2 + 6 = 4.
  • p_2(2)= -\tfrac{1}{2}\cdot 4 -\tfrac{3}{2}\cdot 2 +6 = -2 -3 +6 = 1.
Confere com os três pontos, portanto está correto.

Passo 8

Comentário final curto e incentivador:
  • A solução é única entre polinômios de grau menor ou igual a 2 porque os x-valores -2,1,2 são distintos (o sistema tem matriz tipo Vandermonde invertível).
  • Boa: você montou o sistema e aplicou Gauss corretamente — é exatamente o procedimento que se pede em provas quando pedem “usar eliminação de Gauss”.

Resposta

p_{2}(x) = -\dfrac{1}{2}x^{2} - \dfrac{3}{2}x + 6

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