Encontre a função polinomial p_{n}(x) que interpole os pontos tabelados a seguir, sendo ela da maior ordem possível. Já as letras (c) e (d) devem ser interpoladas utilizando-se a Forma de Lagrange.
x 1 2 3
f(x) -4 0 5

Passo 1

O enunciado nos dá três pontos tabelados e pede a função polinomial de maior ordem possível que interpole esses pontos. Os pontos são:
  • (1,-4)
  • (2,0)
  • (3,5)
O que é pedido explicitamente:
  • Encontrar o polinômio p_{n}(x) que passa por esses três pontos, sendo de maior ordem possível (ou seja, o grau máximo compatível com os pontos).
Observações úteis a partir do enunciado:
  • Existem exatamente três pontos com abscissas distintas; um polinômio interpolador de grau no máximo 2 (ou seja, quadrático) passa por três pontos gerais e esse polinômio é único. Não há informações adicionais (como mais pontos), então o polinômio de maior ordem possível aqui tem grau 2.

Passo 2

Ideia e teorema que vamos usar (explicadinho): para m+1 pontos com abscissas distintas existe um único polinômio de grau no máximo m que interpola esses pontos. Aqui temos 3 pontos, logo existe um único polinômio de grau no máximo 2 que interpola os pontos dados.
Dois métodos comuns para construir esse polinômio são:
  • resolver um sistema linear para os coeficientes de ax^{2}+bx+c, ou
  • usar a Forma de Lagrange (fórmula direta que constrói o polinômio interpolador a partir dos pontos).
A Forma de Lagrange é adequada e direta: ela constrói o polinômio como combinação linear dos valores de função multiplicados por polinômios base que valem 1 numa abscissa e 0 nas outras abscissas. Vou usar a Forma de Lagrange e explicar cada passo.

Passo 3

Fórmula da Forma de Lagrange (explicada):
Se os nós (abscissas) são \,x_0,x_1,\dots,x_m e os valores são \,f(x_0),f(x_1),\dots,f(x_m), o polinômio interpolador de grau \le m é
p(x)=\sum_{i=0}^{m} f(x_i)\,L_i(x).
Cada L_i(x) é o polinômio base de Lagrange definido por
L_i(x)=\prod_{\substack{j=0\\\ j\ne i}}^{m}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
O que isso faz: para um índice fixo i, L_i(x_i)=1 (porque todos os fatores \frac{x_i-x_j}{x_i-x_j}=1) e para j\ne i temos L_i(x_j)=0 (porque um dos fatores tem numerador zero). Assim, quando somamos \sum f(x_i)L_i(x), o polinômio toma valor f(x_k) em x=x_k, garantindo a interpolação.
No nosso caso m=2, e os nós são \,x_0=1,\;x_1=2,\;x_2=3 com valores \,f(x_0)=-4,\;f(x_1)=0,\;f(x_2)=5.

Passo 4

Calcular explicitamente os polinômios base L_0,L_1,L_2.
Para i=0 (nó x_0=1):
L_0(x)=\frac{x-x_1}{x_0-x_1}\cdot\frac{x-x_2}{x_0-x_2} =\frac{x-2}{1-2}\cdot\frac{x-3}{1-3}.
Calcule os denominadores: 1-2=-1 e 1-3=-2. Produto dos denominadores = (-1)\cdot(-2)=2. Portanto
L_0(x)=\frac{(x-2)(x-3)}{2}.
Para i=1 (nó x_1=2):
L_1(x)=\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\cdot\frac{x-x_2}{x_1-x_2} =\frac{x-1}{2-1}\cdot\frac{x-3}{2-3}.
Denominadores: 2-1=1 e 2-3=-1. Produto = -1. Então
L_1(x)=- (x-1)(x-3).
Para i=2 (nó x_2=3):
L_2(x)=\frac{x-x_0}{x_2-x_0}\cdot\frac{x-x_1}{x_2-x_1} =\frac{x-1}{3-1}\cdot\frac{x-2}{3-2}.
Denominadores: 3-1=2 e 3-2=1. Produto = 2. Logo
L_2(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{2}.
Comentário breve: cada L_i é um polinômio de grau 2 aqui, com a propriedade L_i(x_j)=\delta_{ij} (1 se i=j, 0 caso contrário).

Passo 5

Agora constrói-se o polinômio interpolador usando os valores f(x_0)=-4,\;f(x_1)=0,\;f(x_2)=5:
p(x)=f(x_0)L_0(x)+f(x_1)L_1(x)+f(x_2)L_2(x).
Substituindo os números:
p(x)=(-4)\cdot\frac{(x-2)(x-3)}{2} \;+\; 0\cdot\bigl(- (x-1)(x-3)\bigr)\;+\; 5\cdot\frac{(x-1)(x-2)}{2}.
O termo com f(x_1)=0 some para zero, então
p(x)=-\frac{4}{2}(x-2)(x-3)+\frac{5}{2}(x-1)(x-2).
Simplificando -\dfrac{4}{2}=-2, obtemos
p(x)=-2(x-2)(x-3)+\frac{5}{2}(x-1)(x-2).

Passo 6

Expandir e simplificar passo a passo para escrever p(x) na forma padrão ax^2+bx+c.
Primeiro expandir (x-2)(x-3):
(x-2)(x-3)=x^2-5x+6.
Multiplicando por -2:
-2(x-2)(x-3)=-2x^2+10x-12.
Agora expandir (x-1)(x-2):
(x-1)(x-2)=x^2-3x+2.
Multiplicando por \dfrac{5}{2}:
\frac{5}{2}(x-1)(x-2)=\frac{5}{2}x^2-\frac{15}{2}x+5.
Somando os dois resultados:
  • Coeficiente de x^2: -2+\dfrac{5}{2} = -\dfrac{4}{2}+\dfrac{5}{2}=\dfrac{1}{2}.
  • Coeficiente de x: 10-\dfrac{15}{2}=\dfrac{20}{2}-\dfrac{15}{2}=\dfrac{5}{2}.
  • Termo constante: -12+5=-7.
Portanto
p(x)=\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{2}x-7.

Passo 7

Verificação rápida (para ganhar confiança): avaliar p(x) em x=1,2,3.
Para x=1:
p(1)=\frac{1}{2}\cdot1^2+\frac{5}{2}\cdot1-7=\frac{1}{2}+\frac{5}{2}-7=3-7=-4,
confere com f(1)=-4.
Para x=2:
p(2)=\frac{1}{2}\cdot4+\frac{5}{2}\cdot2-7=2+5-7=0,
confere com f(2)=0.
Para x=3:
p(3)=\frac{1}{2}\cdot9+\frac{5}{2}\cdot3-7=\frac{9}{2}+\frac{15}{2}-7=\frac{24}{2}-7=12-7=5,
confere com f(3)=5.
Como conferiu nos três pontos e o polinômio tem grau \le 2, é o interpolador único e é de maior ordem possível dada a quantidade de pontos.

Resposta

\displaystyle p(x)=\frac{1}{2}x^{2}+\frac{5}{2}x-7

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