Encontre a função polinomial
que interpole os pontos tabelados a seguir, sendo ela da maior ordem possível. Já as letras (c) e (d) devem ser interpoladas utilizando-se a Forma de Lagrange.
x
1
2
3
-4
0
5
| x | 1 | 2 | 3 |
|
|
-4 | 0 | 5 |
Passo 1
O enunciado nos dá três pontos tabelados e pede a função polinomial de maior ordem possível que interpole esses pontos. Os pontos são:
O que é pedido explicitamente:
- Encontrar o polinômio
que passa por esses três pontos, sendo de maior ordem possível (ou seja, o grau máximo compatível com os pontos).
Observações úteis a partir do enunciado:
- Existem exatamente três pontos com abscissas distintas; um polinômio interpolador de grau no máximo
(ou seja, quadrático) passa por três pontos gerais e esse polinômio é único. Não há informações adicionais (como mais pontos), então o polinômio de maior ordem possível aqui tem grau .
Passo 2
Ideia e teorema que vamos usar (explicadinho): para
pontos com abscissas distintas existe um único polinômio de grau no máximo
que interpola esses pontos. Aqui temos
pontos, logo existe um único polinômio de grau no máximo
que interpola os pontos dados.
Dois métodos comuns para construir esse polinômio são:
- resolver um sistema linear para os coeficientes de
, ou - usar a Forma de Lagrange (fórmula direta que constrói o polinômio interpolador a partir dos pontos).
A Forma de Lagrange é adequada e direta: ela constrói o polinômio como combinação linear dos valores de função multiplicados por polinômios base que valem
numa abscissa e
nas outras abscissas. Vou usar a Forma de Lagrange e explicar cada passo.
Passo 3
Fórmula da Forma de Lagrange (explicada):
Se os nós (abscissas) são e os valores são
, o polinômio interpolador de grau
é
Se os nós (abscissas) são
Cada
é o polinômio base de Lagrange definido por
O que isso faz: para um índice fixo
,
(porque todos os fatores
) e para
temos
(porque um dos fatores tem numerador zero). Assim, quando somamos
, o polinômio toma valor
em
, garantindo a interpolação.
No nosso caso
, e os nós são
com valores
.
Passo 4
Calcular explicitamente os polinômios base
.
Para
(nó
):
Calcule os denominadores:
e
. Produto dos denominadores =
. Portanto
Para
(nó
):
Denominadores:
e
. Produto =
. Então
Para
(nó
):
Denominadores:
e
. Produto =
. Logo
Comentário breve: cada
é um polinômio de grau
aqui, com a propriedade
(1 se
, 0 caso contrário).
Passo 5
Agora constrói-se o polinômio interpolador usando os valores
:
Substituindo os números:
O termo com
some para zero, então
Simplificando
, obtemos
Passo 6
Expandir e simplificar passo a passo para escrever
na forma padrão
.
Primeiro expandir
:
Multiplicando por
:
Agora expandir
:
Multiplicando por
:
Somando os dois resultados:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Portanto
Passo 7
Verificação rápida (para ganhar confiança): avaliar
em
.
Para
:
confere com
.
Para
:
confere com
.
Para
:
confere com
.
Como conferiu nos três pontos e o polinômio tem grau
, é o interpolador único e é de maior ordem possível dada a quantidade de pontos.