Prove as seguintes identidades para o símbolo de Levi-Civita varepsiloni j k,
varepsiloni j k=c +1 se (i, j, k)=(1,2,3),(3,1,2),(2,3,1) -1 se (i, j, k)=(3,2,1),(1,3,2),(2,1,3) 0 se i=j, ou i=k, ou j=k
sumi=1^3 varepsiloni j k varepsiloni m n=de<aj m de<ak n-de<aj n de<ak m

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, sob a definição usual do símbolo de Levi-Civita em três dimensões
varepsilonijk= +1 &se (i,j,k) é uma permutação par de (1,2,3), -1 &se (i,j,k) é uma permutação ímpar de (1,2,3), 0 &se algum dos índices se repete, éçãéçãíí
vale a identidade de contração
sumi=1^3varepsiloni j k,varepsiloni m n =de<aj m,de<ak n-de<aj n,de<ak m
O conteúdo é a álgebra de tensores em 3D, podendo usar interpretação geométrica via produto vetorial e escalar.

Passo 2

Primeiro note que, se j=k ou m=n, então num dos fatores varepsiloni j k ou varepsiloni m n há índices repetidos e o somatório em i é zero. Do outro lado, se j=k então
de<aj m,de<ak n-de<aj n,de<ak m =de<aj m,de<aj n-de<aj n,de<aj m=0
e análogo se m=n. Logo, nos casos “triviais” de índices iguais, ambos os lados são zero.

Passo 3

Para o caso geral em que jneq k e mneq n, associe varepsiloni j k ao i-ésimo componente do produto vetorial de vetores unitários ej e ek:
( ejtimes ek)i=varepsiloni j k, ( emtimes en)i=varepsiloni m n
Então a soma em i é exatamente o produto escalar desses dois vetores:
sumi=1^3varepsiloni j k,varepsiloni m n =( ejtimes ek)!cdot!( emtimes en)

Passo 4

Use a identidade vetorial bem-conhecida
( atimes b)!cdot!( ctimes d) =( acdot c),( bcdot d) -( acdot d),( bcdot c)
Aplicando a= ej, b= ek, c= em, d= en e lembrando que epcdot eq=de<apq, obtemos
( ejtimes ek)!cdot!( emtimes en) =de<aj m,de<ak n-de<aj n,de<ak m

Passo 5

Recolocando na linguagem de índices, concluímos exatamente
sumi=1^3varepsiloni j k,varepsiloni m n =de<aj m,de<ak n-de<aj n,de<ak m,
o que prova a identidade desejada.

Resposta

sumi=1^3varepsiloni j k,varepsiloni m n =de<aj m,de<ak n-de<aj n,de<ak m

Exercícios relacionados